在交通事故肇事逃逸的情况下，责任书的下达与抓捕行动的时机并无直接的法律关联，即责任书下来之前或之后均可进行抓捕，关键在于是否掌握了足够的证据并符合法律规定的抓捕条件。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律程序角度

1. 抓捕条件：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在掌握足够证据证明犯罪嫌疑人实施了犯罪行为后，可以依法对其进行抓捕。在交通事故肇事逃逸的案件中，一旦公安机关通过调查取证，如现场勘查、证人证言、监控录像等，确认了肇事者的身份和逃逸行为，且认为有必要采取强制措施时，即可进行抓捕。

2. 责任书的作用：交通事故责任书是公安机关交通管理部门根据交通事故现场勘查、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作的作为处理交通事故的证据。它主要明确了事故双方的责任划分，但并不直接决定抓捕的时机。责任书的下达更多是为了后续的事故处理和赔偿协商提供依据。

二、实际操作角度

1. 抓捕时机：在实际操作中，公安机关会根据案件的紧急程度和证据的充分性来决定抓捕时机。如果肇事者逃逸后，公安机关迅速掌握了其行踪和证据，且认为不及时抓捕可能导致证据灭失或肇事者继续实施危害行为，那么可能会在责任书下达之前进行抓捕。反之，如果证据收集需要一定时间，或者肇事者已经归案并配合调查，那么抓捕行动可能会在责任书下达之后进行。

2. 协调与配合：在处理交通事故肇事逃逸案件时，公安机关会与其他相关部门（如检察院、法院）保持密切协调与配合。这有助于确保案件的顺利处理，包括抓捕行动的及时性和有效性。因此，抓捕时机的选择也会考虑到与其他部门的协调情况。

三、法律后果角度

1. 逃逸者的法律责任：根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，发生交通事故后当事人逃逸的，逃逸的当事人承担全部责任。此外，如果逃逸行为构成犯罪，还将依法追究刑事责任。因此，无论责任书何时下达，逃逸者都将面临严重的法律后果。

2. 及时抓捕的重要性：从法律后果的角度来看，及时抓捕肇事逃逸者对于维护社会秩序、保护受害者权益以及防止肇事者继续实施危害行为具有重要意义。因此，公安机关在掌握足够证据后，会尽快采取抓捕行动。

建议：

• 如果您是交通事故的受害者或目击者，请及时向公安机关报案并提供相关证据，以便公安机关尽快展开调查并抓捕肇事者。
• 如果您涉嫌交通事故肇事逃逸，请尽快主动投案自首并配合公安机关的调查工作。自首和配合调查有助于减轻您的法律责任。

在处理此类案件时，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。