结论前置：
- 若劳动合同到期后单位未续签且要求转为兼职，您继续上班可能构成事实劳动关系，但单位存在违法风险；
- 若单位单方面变更合同性质（全职转兼职），您有权拒绝并主张权益。
详细分析：
一、合同到期不续签，单位要求转兼职是否合法？
根据《劳动合同法》第14条、第44条，劳动合同到期后，用人单位若不续签，需支付经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。若单位未支付补偿金，却要求您以“兼职”形式继续工作，可能涉及以下违法情形：
- 未依法终止劳动关系：合同到期后，单位未明确终止合同，您继续提供劳动的，视为双方存在事实劳动关系，单位需按原标准支付工资、缴纳社保；
- 强制变更用工形式：兼职通常属于非全日制用工（每日不超过4小时，每周不超过24小时），若单位未与您协商一致，单方面将全职转为兼职，违反《劳动合同法》第35条（合同变更需双方协商一致）。
建议：
- 要求单位出具书面终止通知，并支付经济补偿金；
- 若单位拒绝，可保留考勤、工资发放记录等证据，向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张未签合同的双倍工资差额（若超过1个月未签）及经济补偿。
二、继续上班是否可行？需分情况处理
若您同意转兼职：
- 需与单位签订非全日制劳动合同，明确工作时间、报酬（不得低于当地小时最低工资标准）、社保缴纳等条款；
- 注意：非全日制用工下，单位无需支付经济补偿金，但您可同时与多个单位建立劳动关系。
若您不同意转兼职，但继续全职工作：
- 视为单位未依法终止劳动关系，您仍有权要求按原合同条件履行，并主张未签合同期间的双倍工资；
- 若单位以“兼职”名义降低工资或拒绝缴社保，可主张补发工资、补缴社保，并可能要求支付赔偿金（如单位违法解除）。
风险提示：
- 若单位口头要求转兼职但未签书面协议，您继续上班可能被认定为“默认接受变更”，建议通过邮件、微信等方式明确拒绝，并要求单位出具书面通知。
行动建议
- 与单位协商：要求明确劳动关系状态（终止/续签/变更），并留存书面证据；
- 收集证据：保存劳动合同、工资条、考勤记录、单位要求转兼职的通知等；
- 维权途径：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉，或申请劳动仲裁（时效1年）。
总结：单位无权单方面将全职合同工转为兼职，您有权拒绝并主张合法权益。具体操作需结合证据和当地政策，如有疑问可进一步提供细节，我会为您详细分析。