洗浴场所孩子摔倒，其监管部门主要取决于摔倒的原因及场所的性质，具体分析如下：
若因洗浴场所设施问题导致摔倒：
- 监管部门：此类情况通常涉及公共场所的安全管理问题，一般由当地的市场监督管理部门（或原质量技术监督部门，部分地区已合并）负责监管洗浴场所的设施安全，确保其符合相关安全标准。同时，如果洗浴场所存在明显的安全隐患且未采取必要措施，应急管理部门也可能介入，依据安全生产相关法律法规进行调查处理。
- 法律依据：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》及相关地方性法规，洗浴场所作为经营者，有义务提供安全、符合标准的消费环境，对因设施问题导致的消费者伤害，应承担相应的法律责任。
若因洗浴场所管理不善导致摔倒：
- 监管部门：这主要涉及到公共场所的管理责任，一般由公安机关（或其下属的治安管理部门）负责监管洗浴场所的治安管理情况，包括是否采取了必要的安全防范措施、是否及时处理了安全隐患等。同时，如果洗浴场所的管理行为违反了相关行政管理规定，城市管理部门（或相关综合执法部门）也可能依据地方性法规进行处罚。
- 法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》及相关地方性治安管理法规，洗浴场所作为公共场所，其管理者有义务维护场所内的治安秩序，对因管理不善导致的消费者伤害，应承担相应的管理责任。
若摔倒事件涉及侵权纠纷：
- 处理方式：如果摔倒事件是由于其他顾客的侵权行为（如故意推搡、碰撞等）导致的，那么这主要涉及到民事侵权纠纷。在这种情况下，受害者或其家属可以通过法律途径向侵权者主张赔偿，法院将是解决此类纠纷的最终机构。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，侵权者应承担因其行为导致的损害赔偿责任。
建议与后续行动：
- 保留证据：无论摔倒的原因是什么，受害者或其家属都应尽快收集并保留相关证据，如现场照片、视频、医疗记录等，以便在后续处理中证明事实真相。
- 及时报警或投诉：如果摔倒事件涉及到治安问题或设施安全隐患，应及时向公安机关或市场监督管理部门报警或投诉，以便相关部门及时介入调查处理。
- 咨询专业律师：如果摔倒事件导致了较为严重的后果（如重伤、死亡等），或者涉及复杂的法律关系（如多方责任、保险理赔等），建议咨询专业律师以获取更全面的法律建议和帮助。
我是汪小波律师，专注于经济纠纷、侵权纠纷等多个法律领域。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。