结论前置：发现非法行医行为，应向相关监管部门举报以确保公共卫生安全。结合新闻背景中邓女士的遭遇，她可以向卫生健康行政部门、市场监督管理部门、公安机关等部门进行举报，以维护自身权益。以下是对如何举报非法行医行为的详细分析：

一、举报部门及职责

1. 卫生健康行政部门（如当地卫生健康委员会或卫生监督所）

   • 职责：作为医疗卫生行业的主管部门，卫生健康行政部门负责对医疗机构和医疗执业活动进行全面监管。对于非法行医行为，该部门有权进行调查核实，并依据情节轻重给予警告、罚款、吊销执业证书等行政处罚；情节严重者，将移交司法机关处理。
   • 举报方式：可通过拨打卫生监督投诉举报电话（如12320）、前往办公地点当面举报、登录官方网站在线举报等方式反映问题。

2. 市场监督管理部门

   • 职责：负责查处无照经营、销售假药、劣药及不符合标准的医疗器械等违法行为。在非法行医行为中，若涉及无照经营或销售假药等，市场监督管理部门有权进行查处。
   • 举报方式：可通过拨打投诉举报热线（如12315）、前往办公地点举报等方式反映问题。

3. 公安机关

   • 职责：负责处理涉嫌犯罪的非法行医行为。当非法行医行为造成就诊人轻度残疾、器官组织损伤导致一般功能障碍，或使用假药、劣药及不符合标准的卫生材料、医疗器械足以严重危害人体健康时，公安机关将依法介入调查，并追究非法行医者的刑事责任。
   • 举报条件：在发现非法行医行为涉嫌犯罪时，应向公安机关报案。

二、举报流程及注意事项

1. 举报流程

   • 收集证据：在举报前，应尽可能收集非法行医的相关证据，如行医地点、时间、行为方式、相关证据材料等。
   • 选择举报部门：根据非法行医的具体情形，选择向卫生健康行政部门、市场监督管理部门或公安机关进行举报。
   • 提交举报材料：按照所选举报部门的要求，提交举报材料，包括举报信、证据材料等。
   • 等待处理结果：举报部门将依法对举报进行调查核实，并给出处理结果。

2. 注意事项

   • 提供详细信息：在举报时，应尽可能提供详细的证据和信息，以便相关部门能够及时进行查处。
   • 保护个人隐私和安全：在举报过程中，应注意保护自己的隐私和安全，避免因举报而遭受不必要的麻烦。
   • 持续跟进：在举报后，可适时向举报部门询问处理进度，以确保举报得到妥善处理。

三、结合新闻背景的分析

在新闻背景中，邓女士遭遇了非法行医行为，导致整形失败并面临维权困境。针对此类情况，邓女士可以向卫生健康行政部门举报非法行医行为，要求对该整形机构进行调查处理；同时，若该整形机构存在无照经营或销售假药等行为，邓女士还可以向市场监督管理部门进行举报；若非法行医行为涉嫌犯罪，邓女士应向公安机关报案。

四、对公众的启示

非法行医行为严重危害公共卫生安全和人民群众的生命健康。公众应提高警惕，避免选择无资质的医疗机构进行诊疗。在发现非法行医行为时，应积极向相关部门进行举报，以维护自身权益和公共卫生安全。

总结：发现非法行医行为时，应根据具体情形选择适当的部门进行举报。在举报过程中，应提供详细的证据和信息，并注意保护自己的隐私和安全。结合新闻背景，公众应提高警惕，避免选择无资质的医疗机构进行诊疗，并在发现非法行医行为时积极举报。若您有任何法律问题，可以直接向我咨询。