公司在以下几种情况下开除员工无需支付赔偿：
员工在试用期间被证明不符合录用条件：
- 公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行考核。若能证明员工未达到录用条件，例如通过考核记录、工作表现评估等证据，公司可解除劳动合同且无需支付赔偿。
员工严重违反用人单位的规章制度：
- 公司的规章制度需合法合规，且经过民主程序制定并公示给员工。若员工行为明显违反制度相关条款，如多次旷工、擅自离岗、违反安全操作规程等，且情节严重，公司可解除劳动合同。但需注意，规章制度的内容和制定程序必须合法，否则可能面临法律风险。
员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害：
- 员工在工作中存在严重失职或营私舞弊行为，如财务人员挪用公款、销售人员泄露商业秘密等，且该行为给公司带来重大损害。公司需界定“重大损害”的具体标准，并证明员工行为与损害之间有直接因果关系。例如，通过财务审计报告、损失评估报告等证据来证明。
员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：
- 若员工在与其他单位建立劳动关系的同时，对本单位的工作任务造成了严重影响，如无法按时完成工作任务、工作质量下降等，或者经公司提出后仍拒不改正，公司可解除劳动合同。但需注意，公司需提供充分证据证明员工的行为对本单位工作造成了严重影响。
员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效：
- 若员工在订立或变更劳动合同时存在欺诈、胁迫等行为，如伪造学历、工作经历等，导致劳动合同无效，公司可解除劳动合同且无需支付赔偿。但需注意，公司需提供充分证据证明员工的欺诈、胁迫行为。
员工被依法追究刑事责任：
- 若员工被人民法院判处刑罚，如因犯罪被判处有期徒刑、拘役等，公司可解除劳动合同且无需支付赔偿。但需注意，公司需及时了解员工的刑事责任情况，并依法解除劳动合同。
法律建议：
- 公司在开除员工时，务必确保有充分的事实依据和合法的程序。否则，可能面临劳动纠纷和赔偿风险。
- 对于员工的行为是否构成严重违反规章制度、严重失职等情形，公司应进行充分的调查和取证。
- 若公司对开除员工的决定存在疑虑，建议咨询专业律师以获取法律意见。
可能后果：
- 若公司未按照法律规定开除员工，可能面临劳动仲裁或诉讼，并需支付赔偿金、经济补偿金等费用。
- 赔偿金的计算通常根据员工在本单位的工作年限和月工资标准来确定。例如，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
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