结论前置：在公司未与员工签订劳动合同且未购买社保的情况下单方开除员工，员工可通过以下方式维权：

1. 主张未签订劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。员工可收集工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证据，证明劳动关系及入职时间，向劳动仲裁委申请仲裁，要求公司支付自用工满一个月次日起至离职日的双倍工资差额（最长不超过11个月）。

2. 要求补缴社保并主张经济补偿

   • 补缴社保：根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位未依法缴纳社保的，劳动者可向当地社保征收机构投诉，要求公司补缴劳动关系存续期间的社保费用。
     
   • 经济补偿：若公司以“未签订劳动合同”或“未缴纳社保”为由开除员工，可能构成违法解除。根据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条，员工可主张经济补偿（按工作年限，每满一年支付一个月工资）；若公司违法解除，则可主张双倍经济补偿（即赔偿金）。
     
   • 特殊情形：若公司以“员工拒绝补签合同”或“员工主动离职”为由抗辩，员工需提供开除通知、聊天记录等证据，证明系公司单方解除。

3. 确认劳动关系并主张违法解除赔偿
   若公司否认劳动关系，员工需先通过劳动仲裁确认劳动关系（提供工作证、工资流水、工作邮件等证据），再主张违法解除赔偿。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违法解除劳动合同的，应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金（即工作年限×月工资×2）。

4. 行政投诉与举报

   • 向劳动监察部门投诉：针对公司未签订劳动合同、未缴纳社保、违法解除等行为，员工可向当地劳动保障监察大队投诉，要求责令公司改正并处罚。
     
   • 向社保部门举报：要求对公司未缴纳社保的行为进行稽查，并强制补缴。

操作建议：

• 证据收集：优先保存工资支付记录、考勤记录、工作证、工作邮件、同事证言等能证明劳动关系及入职时间的材料。
  
• 时效注意：劳动仲裁时效为1年（自知道或应当知道权利被侵害之日起计算），建议尽快行动。
  
• 程序选择：可同时申请劳动仲裁主张双倍工资、经济补偿/赔偿金，并向社保部门投诉补缴社保，多途径并行提高维权效率。

风险提示：若公司已注销或无财产，执行阶段可能面临困难，建议仲裁阶段申请财产保全。如有具体证据或细节需进一步分析，可直接向我咨询。