公司在以下几种情况下开除员工无需支付赔偿：

1. 试用期被证明不符合录用条件：

   • 公司需有明确的录用条件，并且这些条件已经向员工公示。
   • 公司需要有相应的考核证明，表明员工在试用期内确实不符合录用条件。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

2. 严重违反用人单位的规章制度：

   • 规章制度需经民主程序制定，并且已经向员工公示或告知。
   • 员工的违规行为需达到“严重”程度，如多次旷工、擅自离岗等。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • “重大损害”需有明确界定，如造成公司重大经济损失、业务受损等。
   • 公司需要有相关证据证明损失情况及因果关系。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》，劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：

   • 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本单位的工作任务造成了严重影响。
   • 或者经用人单位提出后，员工拒不改正与其他用人单位的劳动关系。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》，劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

5. 以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效：

   • 员工通过欺诈、胁迫等手段，使公司在违背真实意愿的情况下订立或变更劳动合同。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》，以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的，劳动合同无效，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 员工被依法追究刑事责任，如被法院判处刑罚等。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

建议与注意事项：

• 公司在开除员工时，应确保有充分的事实依据和合法的程序，否则可能面临劳动纠纷及法律风险。
• 公司应保留好相关证据，如员工违规行为的记录、书面警告、证人证言、财务损失报告、业务受损数据等，以备不时之需。
• 公司在作出开除决定前，应通知工会（如有工会），并留存通知工会的相关材料。
• 公司应将开除决定书面通知员工，并确保有送达回执等证明材料。

后续行动建议：

• 如果您作为公司方，在开除员工时遇到任何疑问或困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
• 如果您作为员工方，认为公司开除您的行为不合法或不合理，也可以向我咨询，我会帮助您维护自己的合法权益。