孩子在学校摔倒了，学校是否有义务赔偿取决于孩子的年龄、学校是否尽到教育和管理职责，以及是否存在第三人侵权等因素。以下是对此问题的详细分析：
一、无民事行为能力人（8周岁以下）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十九条，无民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害的，幼儿园、学校或者其他教育机构应当承担侵权责任；但是，能够证明尽到教育、管理职责的，不承担侵权责任。
责任判定：
- 对于8周岁以下的小孩，法律实行过错推定原则。即小孩在学校摔倒受伤后，首先推定学校存在过错，需要承担责任。学校若想免责，必须提供证据证明已尽到教育和管理职责，如设置了安全警示标识、进行了安全教育、事故发生后及时采取了救助措施等。
二、限制民事行为能力人（8周岁以上不满18周岁）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条，限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。
责任判定：
- 对于8周岁以上不满18周岁的小孩，适用过错责任原则。即小孩及其监护人需要证明学校未尽到教育、管理职责，学校才承担责任。例如，学校教学设施存在安全漏洞导致小孩摔倒受伤，或学校在组织活动时未采取必要安全保障措施等。
三、第三人侵权导致小孩摔倒受伤
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零一条，无民事行为能力人或者限制民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间，受到幼儿园、学校或者其他教育机构以外的第三人人身损害的，由第三人承担侵权责任；幼儿园、学校或者其他教育机构未尽到管理职责的，承担相应的补充责任。
责任判定：
- 在第三人侵权的情况下，首先由第三人承担侵权责任。若学校存在管理漏洞，如未对第三人进行必要的身份核实或未采取必要的安全措施等，则学校需承担一定补充责任，并可向第三方追偿。
四、赔偿问题
- 若学校存在过错导致孩子受伤，赔偿范围一般包括医疗费、护理费、交通费等治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。若造成残疾或死亡，还需赔偿残疾赔偿金、死亡赔偿金等费用。
五、建议与措施
家长方面：
- 家长在孩子摔伤后，应首先与学校沟通协商，了解事情经过和责任归属。
- 若对责任认定存在争议，可以通过调解、诉讼等法律途径解决，必要时可向我咨询以获取专业法律帮助。
学校方面：
- 学校应加强安全管理，完善安全制度，如定期检查教学设施、设置安全警示标识、进行安全教育等。
- 学校应制定应急预案，以便在事故发生后及时采取救助措施，减少损失。
综上所述，孩子在学校摔倒后的责任判定是一个复杂的问题，需要综合考虑多个因素和法律知识点。家长和学校应共同努力，加强沟通和协作，以确保学生的安全和权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。