在法庭审理中，若法院建议检察院补充起诉，这通常意味着法院在审理过程中发现原起诉可能存在遗漏的罪行、事实或需要进一步明确的诉讼请求。针对这种情况，检察院应当按照以下步骤和原则进行处理：

一、审查法院建议

首先，检察院需要仔细审查法院提出的补充起诉建议，明确建议的具体内容、理由以及需要补充的起诉要素。这有助于检察院准确理解法院的意图，为后续的补充起诉工作奠定基础。

二、评估补充起诉的必要性

在审查法院建议后，检察院需要评估补充起诉的必要性。这包括考虑补充起诉是否符合法律规定、是否有助于全面查明案件事实、是否有利于保护当事人的合法权益等因素。如果评估结果显示补充起诉是必要的，那么检察院应当决定进行补充起诉。

三、准备补充起诉材料

决定进行补充起诉后，检察院需要准备相应的补充起诉材料。这包括但不限于：

1. 补充起诉书：明确补充起诉的诉讼请求、事实和理由，以及需要增加的当事人或罪行等信息。
2. 相关证据：收集并整理与补充起诉内容相关的证据材料，以支持补充起诉的诉讼请求。
3. 法律意见书：对补充起诉的法律依据进行阐述，说明补充起诉的合法性和合理性。

四、提交补充起诉材料并参与诉讼活动

准备好补充起诉材料后，检察院需要将其提交给法院，并按照法院的安排参与后续的诉讼活动。这包括但不限于：

1. 告知对方当事人：法院会将补充起诉的内容告知对方当事人，并让其有时间进行答辩。
2. 举证、质证：双方可以就补充起诉的内容进行举证、质证等诉讼活动，以查明案件事实。
3. 参与庭审：检察院需要派员出庭，支持公诉，并就补充起诉的内容进行陈述和辩论。

五、遵守法律程序和期限

在处理补充起诉的过程中，检察院需要严格遵守法律程序和期限。这包括按照法院的要求及时提交补充起诉材料、参与诉讼活动等。同时，检察院也需要确保补充起诉的内容合法、合理，并充分保障当事人的合法权益。

六、关注案件审理结果

最后，检察院需要关注案件的审理结果。如果法院最终采纳了补充起诉的内容并作出了相应的裁判，那么检察院需要评估裁判结果是否符合法律规定和案件事实。如果裁判结果存在不当之处，检察院可以依法提出抗诉等法律监督措施。

概括起来，当法院建议检察院补充起诉时，检察院应当认真审查法院建议、评估补充起诉的必要性、准备补充起诉材料、提交材料并参与诉讼活动、遵守法律程序和期限以及关注案件审理结果。通过这些步骤和原则的处理，可以确保补充起诉工作的合法性和有效性，维护当事人的合法权益和司法公正。