核心前提：雇员在工作过程中遭受第三人侵权损害，但雇员本人不起诉侵权人，此时涉及雇主、雇员及第三人三方法律关系及权益处理问题。

结论及分析：

1. 雇主的责任与权利：

   • 雇主责任：根据《民法典》及相关劳动法律法规，若雇员在执行工作任务过程中遭受第三人侵害，雇主原则上无需对雇员因第三人侵权造成的损害承担赔偿责任（除非雇主存在过错，如未提供安全的工作环境等）。但雇主有义务协助雇员处理相关事宜，如提供必要的证明文件等。
   • 雇主权利：雇主在支付了雇员因工伤应得的补偿（如工伤保险待遇）后，若该损害实际由第三人造成，雇主有权在补偿范围内向第三人追偿。这通常通过代位求偿权实现，即雇主代替雇员的位置，向第三人主张权利。

2. 雇员的选择与后果：

   • 不起诉的决定：雇员作为直接受害者，有权选择是否起诉第三人。若雇员决定不起诉，这可能是基于个人考虑，如诉讼成本、时间精力投入、与第三人的关系等。
   • 后果承担：雇员不起诉，意味着其放弃了通过法律途径直接向第三人索赔的权利。但这不影响雇主在支付补偿后，依据法律规定向第三人追偿的权利。同时，雇员仍可能通过其他途径（如协商、调解）尝试获得赔偿。

3. 法律程序与建议：

   • 法律程序：若雇主希望向第三人追偿，通常需要先确认雇员已获得的补偿金额，并收集相关证据证明损害是由第三人造成的。随后，雇主可以自己的名义或通过法律程序（如提起代位求偿诉讼）向第三人主张权利。
   • 建议：
     • 对于雇主而言，建议及时与雇员沟通，了解其不起诉的原因，并告知雇主自身的追偿权利。同时，保留好所有与雇员受伤及补偿相关的证据。
     • 对于雇员而言，虽然有权不起诉，但建议考虑长远利益，包括可能的赔偿金额、诉讼成本与收益等。若决定不起诉，可与雇主协商，看是否能通过其他方式获得一定补偿。
     • 在任何情况下，都建议咨询专业法律人士，以确保权益得到最大程度的保护。

总结：雇员被第三人损害且不起诉侵权人时，雇主仍有可能在支付补偿后向第三人追偿。雇员应权衡利弊做出决定，并考虑与雇主协商解决方案。如有需要，可直接向我咨询相关法律问题。