公安机关立案期限的规定主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，具体分析如下：

一、一般刑事案件的立案期限

1. 基本规定：

   • 根据《刑事诉讼法》第一百一十条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查。
   • 法律并未明确规定公安机关受理案件后的具体立案期限，但要求“迅速”进行审查并作出是否立案的决定，体现了对案件处理的及时性和效率性。
   • 一般情况下，公安机关应在7日内作出是否立案的决定。若决定立案，需经县级以上公安机关负责人批准；若不予立案，应制作不予立案通知书，并在3日内送达控告人。

2. 行政执法机关移送的刑事案件：

   • 公安机关应在3日内开始进行审查，一般审查期限是10日，最长不超过30日。

二、经济犯罪案件的立案期限

• 根据《最高人民检察院公安部关于公安机关办理经济犯罪案件的若干规定》第十五条，公安机关接受涉嫌经济犯罪线索的报案、控告、举报、自动投案后，应当立即进行审查，并在七日以内决定是否立案。
• 对于重大、疑难、复杂线索，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至三十日。
• 对于特别重大、疑难、复杂或者跨区域性的线索，经上一级公安机关负责人批准，立案审查期限可以再延长三十日，即最长可达六十日。

三、特殊情况下的立案期限延长

1. 重大、复杂线索的刑事案件：

   • 经县级公安机关负责人批准，立案审查期限可延长至30日（与经济犯罪案件中的规定相同）。

2. 特别重大、复杂线索的刑事案件：

   • 经地（市）级公安机关负责人批准，立案审查期限可延长至60日。

3. 上级公安机关指定管辖或书面通知立案的刑事案件：

   • 应在指定的期限内立案。

4. 人民检察院进行立案监督的刑事案件：

   • 接到人民检察院要求立案的通知后，公安机关应在15日内决定立案。

5. 公安信访案件：

   • 立案审查期限是60日。情况复杂的，经本级公安机关负责人批准，可适当延长，但延长期限不得超过30日。

四、不予立案的处理及控告人的权利

• 公安机关决定不予立案的，应在立案审查期限内制作不予立案通知书，并在3日内送达控告人。
• 控告人对不予立案决定不服的，可在收到不予立案通知书后7日内向作出决定的公安机关申请复议。
• 公安机关应在收到复议申请后30日内作出决定，并将决定书送达控告人。
• 控告人对不予立案的复议决定不服的，可在收到复议决定书后7日内向上一级公安机关申请复核。
• 上一级公安机关应在收到复核申请后30日内作出决定。

总结：公安机关立案期限的规定涵盖了不同类型的刑事案件和特殊情况，确保了案件处理的及时性和有效性。同时，也为控告人提供了明确的法律救济途径，保障了其合法权益。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。