自治州的地方立法权由自治州的人民代表大会及其常务委员会共同行使。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与背景

根据最新的立法法修正案草案以及民族区域自治法的相关规定，自治州作为民族自治地方，其自治机关不仅行使下设区、县的市的地方国家机关的职权，同时还行使自治权。这一规定为自治州行使地方立法权提供了法律基础。具体来说，自治州的人民代表大会可以制定自治条例和单行条例，而在此基础上，为了更灵活地应对地方事务，立法法修正案草案进一步赋予了自治州人大及其常委会设区的市的地方立法权。

二、自治州人大及其常委会的立法权

1. 自治州人民代表大会的立法权：

   • 自治州的人民代表大会有权制定自治条例和单行条例，这是其行使自治权的重要体现。
   • 自治条例和单行条例可以依照当地民族的特点，对法律和行政法规的规定作出变通规定，但不得违背法律或者行政法规的基本原则，不得对宪法和民族区域自治法的规定以及其他有关法律、行政法规专门就民族自治地方所作的规定作出变通规定。

2. 自治州人大常委会的立法权：

   • 除了自治州人民代表大会外，其常务委员会也被赋予了地方立法权。
   • 这一赋予是为了更灵活地应对地方事务，因为代表大会每年只召开一次，而常委会则可以更频繁地召开会议，及时制定和修改地方性法规。

三、立法权的行使步骤与时间

自治州开始制定地方性法规的具体步骤和时间，依照对设区的市的规定确定。这意味着自治州在行使地方立法权时，需要遵循一定的程序和规范，确保立法活动的合法性和有效性。

四、实际案例与影响

在实际操作中，自治州人大及其常委会已经根据这一规定开始行使地方立法权，制定了一系列符合本地实际的地方性法规。这些法规在促进地方经济社会发展、维护社会稳定等方面发挥了重要作用。

如有任何关于自治州地方立法权或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。我将运用我的专业知识和经验，为您提供全面、准确的法律解答。