打架斗殴最多可能被拘留37天，但具体拘留时长需根据案件性质及法律规定综合判断。以下从不同角度进行详细分析：
一、刑事拘留期限
在打架斗殴行为涉嫌构成刑事犯罪的情况下，公安机关会根据《刑事诉讼法》的规定，对参与者采取刑事拘留措施，暂时限制其人身自由。
一般期限：
- 根据《刑事诉讼法》第九十一条，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。
- 在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
- 人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
- 一般情况下，刑事拘留不超过14天。
特殊期限：
- 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
- 即在特殊情况下，刑事拘留期限可以延长到37天。
二、行政拘留期限
如果打架斗殴行为未构成刑事犯罪，但违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》，则可能面临行政拘留的处罚。
一般情节：
- 根据《治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款。
- 情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
加重情节：
- 有下列情形之一的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：
- 结伙殴打、伤害他人的；
- 殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；
- 多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。
三、法律后果与建议
法律后果：
- 打架斗殴行为可能构成刑事犯罪，如故意伤害罪、寻衅滋事罪、聚众斗殴罪等，具体取决于行为性质和后果。
- 即使不构成刑事犯罪，也可能面临行政拘留、罚款等行政处罚。
建议：
- 及时报警：确保受伤人员得到及时治疗，并保护现场证据。
- 配合调查：无论是受害者还是施暴者，都应积极配合公安机关的调查工作。
- 尊重法律程序：根据打架行为的性质和后果，接受相应的法律处罚。
- 寻求法律帮助：如有需要，可咨询专业律师以了解自身权利和义务。
总结来看，打架斗殴的拘留时长取决于案件性质（刑事或行政）以及具体情节（一般或加重）。在刑事案件中，拘留期限最长可达37天；在行政案件中，拘留期限则根据情节轻重有所不同。因此，无法给出一个固定的“最多拘留天数”，而需根据具体情况综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。