可以要求赔偿，但具体能否获赔及赔偿金额需视情况而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律责任基础
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在您描述的情境中，如果他人未经允许带走您的狗狗，并在过程中导致狗狗受伤或生病，那么该行为人可能因过错侵害了您的财产权（狗狗作为您的财产），依法应承担相应的赔偿责任。
二、赔偿条件与证据收集
过错证明：您需要证明对方在带走狗狗的过程中存在过错，比如未妥善照顾导致狗狗受伤，或者故意虐待等。这通常需要通过监控录像、目击者证言、狗狗受伤或生病的医疗证明等证据来支持。
因果关系：您需要证明狗狗的受伤或生病与对方的行为之间存在直接的因果关系。即，如果狗狗没有在对方带走期间受伤或生病，那么这些损害就不会发生。
损失计算：您需要计算因狗狗受伤或生病而产生的实际损失，包括但不限于医疗费用、因狗狗无法正常工作或提供陪伴而产生的间接损失等。这些损失应当是合理且必要的。
三、赔偿范围与金额
直接损失：包括狗狗的医疗费用、治疗期间的特殊饮食费用等。这些费用应当有相应的发票或收据作为证明。
间接损失：如果狗狗因受伤或生病而无法正常工作（如导盲犬、警犬等）或提供陪伴，导致您产生了额外的费用或损失，这些也可能被纳入赔偿范围。但间接损失的赔偿通常较难证明，需要您提供充分的证据。
赔偿金额：赔偿金额应当根据您的实际损失来确定，并应当合理且必要。如果双方无法就赔偿金额达成一致，您可以通过法律途径来解决争议。
四、解决途径
协商：您可以先尝试与对方进行协商，看是否能够达成赔偿协议。协商过程中，您可以出示相关证据来支持您的赔偿请求。
调解：如果协商无果，您可以考虑寻求第三方调解机构的帮助，如人民调解委员会等。调解机构可以协助双方进行沟通，并尝试达成调解协议。
诉讼：如果调解也无果，您可以向人民法院提起诉讼，要求对方承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交相关证据来支持您的诉讼请求，并接受法院的审理和判决。
建议您：在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，及时收集并保存相关证据。如果对方拒绝赔偿或赔偿金额无法达成一致，您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。