您对公共事件有质疑时，确实享有对国家公共机关的监督权。这是由我国《宪法》明确赋予公民的一项基本权利。

1. 监督权的具体内容：

   • 根据《中华人民共和国宪法》第四十一条的规定，公民对于任何国家机关和国家工作人员，有提出批评和建议的权利。这意味着，当您对公共事件有质疑时，您有权向相关国家机关提出您的看法和建议。
   • 同时，该条款还规定，公民对于任何国家机关和国家工作人员的违法失职行为，有向有关国家机关提出申诉、控告或者检举的权利。这进一步强化了公民的监督权，使得公民在发现国家机关或工作人员存在不当行为时，能够采取相应的法律措施。

2. 监督权的行使方式：

   • 您可以通过合法途径，如向相关部门提交书面材料、参加听证会或公开论坛等方式，表达您的质疑和看法。
   • 在行使监督权时，您应当确保所提供的信息真实、准确，不得捏造或歪曲事实进行诬告陷害。这是为了维护监督权的严肃性和有效性，防止滥用权利。

3. 监督权行使的保障：

   • 对于公民的申诉、控告或者检举，有关国家机关必须查清事实，负责处理。这确保了公民监督权能够得到有效的回应和处理。
   • 任何人不得压制和打击报复行使监督权的公民。这是为了保护公民的合法权益，防止因行使监督权而遭受不公正的待遇。

4. 可能面临的法律后果：

   • 如果您在行使监督权时违反了法律规定，如捏造或歪曲事实进行诬告陷害，您可能会承担相应的法律责任。因此，在行使监督权时，您应当谨慎行事，确保自己的行为合法合规。

建议：

• 在对公共事件有质疑时，您可以积极行使自己的监督权，通过合法途径向相关国家机关提出您的看法和建议。
• 同时，您也应当了解并遵守相关法律法规，确保自己的行为合法合规，避免因不当行为而承担法律责任。

如果您在行使监督权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。