私生子在遗嘱明确指定的情况下享有继承权；若遗嘱未提及，在法定继承中私生子同样享有继承权。以下是对此问题的详细分析：

遗嘱明确指定的情况

• 遗嘱效力：遗嘱是被继承人对自己个人合法财产处分的意思表示。只要遗嘱符合法定形式要件且内容合法，就具有法律效力。
• 私生子继承权：如果遗嘱中明确指定了私生子作为继承人，那么私生子就有权依据遗嘱继承相应的财产。这是遗嘱人自由处分财产的权利体现，也是法律对私生子继承权的保护。

遗嘱未提及的情况

• 法定继承：如果遗嘱没有提及私生子，那么在按照法定继承的情况下，私生子同样可以依法继承遗产。
• 平等分配：根据《民法典》的相关规定，私生子作为非婚生子女，与婚生子女享有平等的继承权。在法定继承中，他们可以和其他法定继承人一样平等地分配遗产份额。
• 法律依据：《民法典》第一千零七十一条规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。同时，第一千一百二十七条也明确了遗产的继承顺序，其中子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。

特殊情况与注意事项

• 遗嘱无效或部分无效：如果遗嘱存在无效或部分无效的情形，比如遗嘱人立遗嘱时缺乏民事行为能力、遗嘱内容违反法律强制性规定等，那么私生子的继承权可能会受到影响。在这种情况下，需要依据法律规定和实际情况来判断私生子的继承权。
• 亲子关系证明：私生子要继承遗产，必须能够证明其与被继承人之间存在亲子关系。这通常需要通过亲子鉴定或其他证据来证明。
• 丧失继承权的情形：如果私生子存在故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等丧失继承权的法定情形，那么他们将无权继承遗产。

建议：在实际操作中，如果涉及遗嘱和私生子继承权的问题，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。同时，遗嘱人也可以考虑在立遗嘱时明确提及私生子的继承权，以避免后续可能出现的纠纷。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。