在刑事案件中，法定代理人的权利主要包括以下几个方面：

1. 代理诉讼权利：

   • 法定代理人有权代表被代理人（如未成年人、无行为能力或限制行为能力的人）参与刑事诉讼的各个环节，包括但不限于出庭、陈述、辩论等。他们的行为视同被代理人所为，具有法律效力。例如，在未成年人犯罪案件中，法定代理人可以代表未成年人进行辩护，提出无罪、罪轻或减轻、免除刑事责任的材料和意见。

2. 申请回避权：

   • 法定代理人有权申请与案件有利害关系或其他可能影响公正审判的人员回避。这是为了确保诉讼的公正性和客观性，防止因人员关系而影响案件的公正处理。

3. 上诉权：

   • 如果对一审判决结果不服，法定代理人有权代表被代理人提起上诉。这是法定代理人维护被代理人合法权益的重要手段之一。例如，在未成年人被判刑后，法定代理人认为判决过重或存在其他问题，可以代表未成年人提起上诉。

4. 了解案情和证据权利：

   • 法定代理人有权了解案情和证据，包括查阅案卷材料、了解侦查进展等。这是为了确保法定代理人能够充分了解案件情况，为被代理人提供有效的法律帮助。例如，在案件侦查阶段，法定代理人可以向侦查机关了解案件的进展情况和相关证据。

5. 监督诉讼过程权利：

   • 法定代理人有权监督诉讼过程，确保诉讼活动依法进行。如果发现诉讼过程中存在违法行为或不当行为，法定代理人有权向有关部门反映并要求纠正。例如，在庭审过程中，法定代理人发现法官存在偏袒一方当事人的行为，可以向法院提出异议并要求纠正。

法定代理人权利行使的注意事项：

• 法定代理人不能代替被代理人陈述案情、作证：虽然法定代理人可以代表被代理人参与诉讼活动，但他们不能代替被代理人陈述案情或作证。这是因为陈述案情和作证是具有严格人身性质的行为，必须由被代理人本人进行。

• 法定代理人应充分了解被代理人的意愿和利益：在行使代理权时，法定代理人应充分了解被代理人的意愿和利益，确保代理行为符合被代理人的真实意愿。例如，在决定是否提起上诉时，法定代理人应与被代理人充分沟通，了解其意见和需求。

• 法定代理人应遵守法律法规和诉讼程序：在行使代理权时，法定代理人应严格遵守法律法规和诉讼程序，不得进行违法或不当行为。例如，在庭审过程中，法定代理人应遵守法庭纪律，不得扰乱法庭秩序。

实际案例中的法定代理人权利行使：

• 在一起未成年人盗窃案件中，未成年人的父母作为法定代理人参与了诉讼活动。他们代表未成年人进行了辩护，提出了未成年人系初犯、偶犯且认罪态度好等减轻情节的材料和意见。最终，法院采纳了这些意见，对未成年人作出了从轻处罚的判决。

• 在一起精神病人伤害案件中，精神病人的监护人作为法定代理人参与了诉讼活动。他们代表精神病人提出了无刑事责任能力的辩护意见，并提供了相关的精神鉴定证据。最终，法院认定精神病人无刑事责任能力，作出了不负刑事责任的判决。

总结与建议：

法定代理人在刑事案件中扮演着至关重要的角色，他们不仅代表着被代理人的利益，还承担着维护其合法权益的责任。因此，在选择和确定法定代理人时，应严格遵守法律规定，确保其具备相应的资格和能力。同时，法定代理人也应充分了解自己的权利和义务，切实履行好代理职责。如果您在刑事案件中需要法定代理人的帮助或咨询相关法律问题，可以直接向我提问。