营销部门（或相关负责营销的部门/人员）有处理客诉的义务，主要基于以下几个方面的法律和商业逻辑：

1. 合同履行与消费者权益保护：

   • 在营销过程中，企业与消费者之间形成了买卖合同关系（或服务合同关系）。根据《中华人民共和国民法典》及相关消费者权益保护法规，企业有义务按照约定提供商品或服务，并保障消费者的合法权益。当消费者对商品或服务提出投诉时，营销部门作为企业与消费者接触的前沿，有责任及时响应并处理，以确保合同得到正确履行，维护消费者权益。

2. 品牌形象与市场声誉：

   • 营销部门不仅负责推广产品和服务，还承担着维护企业品牌形象和市场声誉的重要任务。客诉处理不当可能导致消费者不满，进而通过社交媒体、口碑传播等渠道对企业造成负面影响。因此，营销部门有义务积极处理客诉，以维护企业的良好形象和声誉，促进企业的长期发展。

3. 法律责任与风险防控：

   • 如果营销部门对客诉置之不理或处理不当，可能导致消费者采取法律手段维护自身权益，如提起诉讼或向监管部门投诉。这不仅可能给企业带来经济损失，还可能影响企业的正常运营。因此，从法律责任和风险防控的角度出发，营销部门有义务及时、有效地处理客诉，以降低法律风险。

4. 客户关系管理与持续发展：

   • 客诉处理是客户关系管理的重要环节。通过积极处理客诉，企业可以了解消费者的需求和期望，进而改进产品和服务，提升客户满意度和忠诚度。这对于企业的持续发展至关重要。因此，营销部门有义务将客诉处理作为客户关系管理的一部分，积极与消费者沟通，寻求解决方案。

在实际操作中，营销部门处理客诉时应当遵循以下原则：

• 及时响应：对消费者的投诉应当迅速作出反应，表明企业的重视态度。
• 积极沟通：与消费者保持开放、诚实的沟通，了解投诉的具体内容和原因。
• 合理解决：根据投诉的实际情况，提出合理的解决方案，并尽快实施。
• 记录反馈：对客诉处理过程进行记录，以便后续分析和改进，同时向消费者反馈处理结果。

若营销部门未履行处理客诉的义务，可能面临以下法律后果：

• 消费者投诉或诉讼：消费者可能向监管部门投诉或提起诉讼，要求企业承担违约责任或赔偿责任。
• 行政处罚：监管部门可能对企业进行行政处罚，如罚款、警告等。
• 声誉损害：企业的品牌形象和市场声誉可能受到严重损害，影响企业的长期发展。

因此，从法律、商业和客户关系管理的多个角度出发，营销部门都有义务积极处理客诉。如有任何关于合同纠纷或公司法务方面的疑问，可以直接向我咨询。