在处理重婚家庭中第二监护人的填写问题时，我们首先要明确的是，重婚行为本身是违法的，且不受法律保护。因此，在讨论监护权问题时，我们应基于合法婚姻关系的前提来进行。不过，为了解答您的疑问，我会从一般监护权的角度出发，给出一些指导性的建议。
监护权的基本原则
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年子女的法定监护人，双方平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利，共同承担对未成年子女抚养、教育和保护的义务。在婚姻关系存续期间，除非有特殊情况（如一方被依法剥夺监护权），否则父母双方均应作为监护人。
第二监护人的概念
在常规情况下，我们并不特别区分“第一监护人”和“第二监护人”，因为父母双方都是平等的监护人。但在某些特定情境下（如父母分居、离婚或一方无法履行监护职责时），可能会涉及到监护权的暂时或长期调整。
重婚家庭中的特殊情况
对于重婚家庭而言，由于重婚行为本身违法，因此不存在法律意义上的“合法”第二监护人。如果重婚关系中的一方试图为子女指定第二监护人，这种指定在法律上可能是无效的，除非该指定符合法律规定的监护人条件，并且是在合法婚姻关系框架内进行的。
正确的填写方式
在合法婚姻关系内：如果父母双方处于合法婚姻关系中，且均具备监护能力，那么在填写监护人信息时，应同时填写父母双方的名字，无需区分“第一”或“第二”。
在特殊情况下：如果父母分居、离婚或一方无法履行监护职责，那么应根据法院判决或双方协议来确定监护权的归属。在这种情况下，应填写实际承担监护职责的一方或多方的名字。
避免重婚影响：对于重婚家庭而言，最重要的是先解决重婚问题，恢复合法婚姻关系或依法处理非婚生子女的问题。在此基础上，再按照法律规定来确定监护人。
结论
综上所述，在重婚家庭中，不存在法律意义上的“第二监护人”的正确填写方式。因为重婚行为本身违法，且不受法律保护。在处理监护权问题时，应首先解决重婚问题，恢复合法婚姻关系或依法处理非婚生子女的问题。然后，根据法律规定和实际情况来确定监护人。在任何情况下，都应确保未成年子女的权益得到最大程度的保护。