如果肇事司机全责却不肯垫付医药费，您可以先自行垫付医药费，并妥善保存好所有相关的医疗票据和凭证。之后，您可以通过以下途径来争取赔偿：

1. 与肇事司机协商：

   • 尝试与肇事司机进行友好协商，要求其在合理的期限内支付您垫付的费用以及后续的赔偿款。

2. 向保险公司申请垫付：

   • 如果肇事车辆投保了交强险，您可以向肇事司机所在的保险公司申请让其先垫付交强险范围内的医药费。

3. 提起诉讼：

   • 如果协商不成，或者保险公司不愿意垫付，您可以向人民法院提起诉讼，请求法院判令肇事司机支付您垫付的费用和相应的赔偿。
   • 在诉讼过程中，您需要提交起诉状、相关的证据（包括医疗票据、事故认定书等），并按照法院的诉讼流程进行。
   • 法院会根据具体情况作出判决，并可能强制肇事司机履行赔偿义务。

法律依据：

• 根据《道路交通事故处理程序规定》，公安机关交通管理部门会根据当事人的行为对发生道路交通事故所起的作用以及过错的严重程度，确定当事人的责任。因一方当事人的过错导致道路交通事故的，该方当事人承担全部责任。
• 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您需要在三年内提起诉讼，以维护自己的合法权益。

结论： 肇事司机全责却不肯垫付医药费的情况下，您可以先自行垫付并保存好凭证，然后通过协商、向保险公司申请垫付或提起诉讼等途径来争取赔偿。在诉讼过程中，请务必提交充分的证据以支持您的主张。