在没有立案的情况下，一般无法直接申请公安局开出私刻公章的犯罪证明。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、立案的必要性
立案是刑事诉讼的起点：在刑事案件中，立案是公安机关、人民检察院或人民法院对报案、控告、举报和犯罪嫌疑人自首的材料进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任时，依法决定作为刑事案件进行侦查或审判的诉讼活动。没有立案，意味着公安机关尚未正式启动刑事诉讼程序。
犯罪证明的出具：犯罪证明通常是在案件立案后，经过侦查、调查等程序，确认存在犯罪事实并达到一定证据标准后，由公安机关或相关司法机关出具的。在没有立案的情况下，公安机关一般不会出具此类证明。
二、未立案情况下的处理建议
收集证据：如果您怀疑有人私刻公章伪造公文，但尚未达到立案标准，您可以先自行收集相关证据，如公章样本、伪造公文样本、目击者证言等。这些证据在后续立案或调查中可能起到关键作用。
向公安机关报案：将您收集到的证据和怀疑的情况向当地公安机关报案。公安机关会根据您提供的材料进行初步审查，如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，会依法立案并展开侦查。
咨询专业律师：在处理此类问题时，咨询专业律师是非常重要的。律师可以为您提供法律建议，指导您如何收集证据、如何报案以及后续可能面临的法律程序等。
三、可能面临的法律后果
如果私刻公章伪造公文行为属实：一旦立案并经过侦查确认存在犯罪事实，相关责任人将面临刑事处罚，包括但不限于有期徒刑、拘役、罚金等。
如果行为不属实或证据不足：则可能不会面临刑事处罚，但已经收集的证据和进行的调查可能会对相关人员造成一定的名誉损失或其他影响。
四、特殊情况下的考虑
紧急情况：如果您认为私刻公章伪造公文的行为已经对您的合法权益造成了严重威胁或损害，且情况紧急，您可以考虑向公安机关申请紧急措施，如查封、扣押相关物品等。但这种情况需要符合法律规定的紧急条件，并由公安机关依法决定。
行政途径：除了刑事途径外，您还可以考虑通过行政途径解决问题。例如，向相关行政部门举报私刻公章伪造公文的行为，要求行政部门进行调查并依法处理。
建议：在没有立案的情况下，您无法直接申请公安局开出私刻公章的犯罪证明。但您可以通过收集证据、向公安机关报案以及咨询专业律师等方式来维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。