高层建筑私自在外面悬挂铜镜，这一行为是否违法，需结合具体情况及相关法律法规进行综合分析。

1. 从城市规划和建筑管理的角度：

   • 城市规划和建筑管理通常对建筑物的外观、结构以及附属设施有明确的规定。若高层建筑私自悬挂铜镜，且该行为违反了当地关于建筑物外观装饰、安全设施设置或城市风貌管理的相关规定，那么这一行为可能构成违法。例如，某些地区可能规定建筑物外立面不得随意悬挂物品，以确保城市景观的整洁和统一。

2. 从公共安全的角度：

   • 悬挂铜镜可能涉及公共安全问题。如果铜镜悬挂位置不当，如靠近行人通道或可能因风力等因素脱落，对过往行人或车辆造成安全隐患，那么这一行为可能违反公共安全相关的法律法规。在此情况下，相关部门有权要求拆除或整改，以确保公共安全。

3. 从相邻关系的角度：

   • 根据《民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。若高层建筑悬挂铜镜对相邻住户的采光、通风、隐私等造成影响，可能构成对相邻权的侵犯。在此情况下，相邻住户有权要求停止侵害、排除妨碍或赔偿损失。

建议与后果：

• 建议：在悬挂铜镜前，应咨询当地城市规划、建筑管理或物业管理部门，了解相关规定并办理必要手续。同时，应确保铜镜的悬挂位置安全、稳固，不会对公共安全或相邻住户造成影响。
• 可能的法律后果：若未经批准私自悬挂铜镜且违反相关规定，可能面临行政处罚，如罚款、责令拆除等。若因此造成他人损害，还可能承担民事赔偿责任。

具体操作建议：

• 若您打算在高层建筑外悬挂铜镜，请务必先了解并遵守当地的相关规定。
• 在悬挂前，与物业或相关部门沟通，确保行为合法合规。
• 定期检查铜镜的悬挂情况，确保其安全稳固。

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