行政案件终结的情形主要包括以下几种：

1. 作出不予行政处罚决定的：

   • 当行政机关经过调查后，认为违法行为轻微或者没有违法事实，从而决定不予行政处罚时，该行政案件即告终结。这是因为没有处罚对象或处罚对象不构成违法，行政机关无需进一步采取行政措施。

2. 适用调解程序的案件达成协议并已履行的：

   • 在某些行政案件中，双方当事人可能通过调解程序达成协议，并已经按照协议内容履行完毕。此时，行政机关无需再对案件进行进一步处理，案件即告终结。调解是一种有效的解决行政争议的方式，有助于节约行政资源，提高行政效率。

3. 作出行政处罚等处理决定，且已执行的：

   • 当行政机关对违法行为人作出行政处罚等处理决定，并且该决定已经得到执行时，该行政案件即告终结。这是因为行政机关已经对违法行为进行了处理，并实现了处罚的目的。

4. 违法行为涉嫌构成犯罪，转为刑事案件办理的：

   • 如果行政机关在调查过程中发现违法行为涉嫌构成犯罪，那么该行政案件将转为刑事案件办理。此时，行政机关将不再对该案件进行进一步处理，而是将其移送至司法机关进行刑事诉讼。这是因为刑事案件的审理和处罚属于司法机关的职权范围。

5. 作出处理决定后，因执行对象灭失、死亡等客观原因导致无法执行或者无需执行的：

   • 当行政机关作出处理决定后，如果因为执行对象灭失、死亡等客观原因导致无法执行或者无需执行时，该行政案件即告终结。例如，如果行政处罚的对象是某个企业，但该企业已经注销或破产，那么行政处罚就无法执行，案件也就无需继续进行。

法律背景与建议：

• 行政案件的终结是行政程序中的一个重要环节，它标志着行政机关对某一行政争议的处理已经完成。在行政案件终结后，行政机关通常不再对该案件进行进一步处理，除非有新的证据或情况出现。
• 对于当事人而言，如果认为行政机关的处理决定存在错误或不当，可以在法定期限内申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
• 在处理行政案件时，行政机关应当遵循法定程序，确保处理决定的合法性和合理性。同时，当事人也应当积极配合行政机关的调查和处理工作，以便尽快解决行政争议。

可能的法律后果：

• 如果行政案件终结后，当事人仍然对处理决定不满并采取非法手段进行抗议或干扰行政机关的正常工作，可能会面临法律责任。因此，当事人应当通过合法途径表达自己的诉求和意见。
• 对于行政机关而言，如果其在处理行政案件时存在违法行为或不当行为，可能会面临行政复议或行政诉讼的挑战，甚至可能承担法律责任。因此，行政机关应当严格遵守法定程序和规定，确保处理决定的合法性和合理性。