员工在兼职生病期间，公司一般不可以随意辞退。以下是对此问题的详细分析：
一、法定医疗期内的保护
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项的规定，员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，员工享有法律上的保护，公司不能随意辞退。
医疗期的定义及确定：医疗期是指员工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间内用人单位不得解除劳动合同的时限。具体时长根据员工在用人单位的工作年限来确定，例如，实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下为三个月；五年以上为六个月等。
二、特殊情况下的辞退
尽管在医疗期内公司不能随意辞退员工，但也存在一些特殊情况，公司可能依法解除劳动合同：
严重违反规章制度：如果员工在病假期间进行兼职，且该兼职行为严重违反了公司的规章制度，或者对完成本单位的工作任务造成了严重影响，且经公司提出后拒不改正，那么公司可能依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同。但这种情况需要公司有充分的证据来证明员工的兼职行为确实构成了严重违反规章制度或对工作造成了严重影响。
协商一致解除：双方也可以通过协商一致的方式解除劳动合同。在这种情况下，公司需要确保解除劳动合同的协议内容合法，且补偿标准不低于法定标准。
三、违法辞退的法律后果
如果公司没有满足上述严格条件就辞退病假兼职的员工，那么这种辞退行为可能被认定为违法。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司按照经济补偿标准的二倍向其支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
四、建议与措施
完善病假管理制度：公司应建立完善的病假管理制度，明确病假的申请、审批和销假流程，以及病假期间的工资待遇等。这有助于规范员工的病假行为，减少不必要的纠纷。
人性化关怀：对于生病员工，公司应给予更多的人性化关怀和支持。例如，可以提供必要的医疗帮助、调整工作岗位或安排灵活的工作时间等。这有助于增强员工的归属感和忠诚度，减少因病假而引发的劳动纠纷。
总结来看，员工在兼职生病期间，公司一般不可以随意辞退。如果公司确实需要辞退员工，必须满足严格的法律条件，并承担相应的法律后果。因此，建议公司在处理此类问题时务必谨慎行事，遵循法律法规的规定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。