针对过期儿童化妆品的处罚问题，这主要涉及到《化妆品监督管理条例》的相关规定。以下是对此问题的详细解答：

一、处罚依据

根据《化妆品监督管理条例》第三十九条，化妆品生产经营者应当依照有关法律、法规的规定和化妆品标签标示的要求贮存、运输化妆品，并定期检查及时处理变质或者超过使用期限的化妆品。若违反此规定，即构成经营超过使用期限的化妆品的违法行为。

二、处罚措施

依据《化妆品监督管理条例》第六十条第(五)项，对于经营超过使用期限的化妆品的行为，负责药品监督管理的部门将采取以下处罚措施：

1. 没收违法所得、违法生产经营的化妆品：包括过期儿童化妆品以及专门用于违法生产经营的原料、包装材料、工具、设备等物品。

2. 罚款：

   • 若违法生产经营的化妆品货值金额不足1万元，将并处1万元以上5万元以下罚款；
   • 若货值金额1万元以上，将并处货值金额5倍以上20倍以下罚款；
   • 对于情节严重的，还将责令停产停业、由备案部门取消备案或者由原发证部门吊销化妆品许可证件，并对违法单位的法定代表人或者主要负责人、直接负责的主管人员和其他直接责任人员处以其上一年度从本单位取得收入的1倍以上3倍以下罚款，10年内禁止其从事化妆品生产经营活动；
   • 若构成犯罪，将依法追究刑事责任。

三、实际案例

以怀远县市场监督管理局对怀远县荆山七佳母婴用品支湖店的处罚为例，该店因销售过期儿童化妆品（婴儿舒爽金水）被依法扣押过期产品，并最终被处以没收过期化妆品及罚款3000元的处罚。此案例中，商家因未及时清理过期产品而受到了相应的行政处罚。

四、建议与提醒

1. 商家应严格遵守相关法规：定期检查并及时处理过期化妆品，确保所售化妆品均在有效期内。

2. 建立并执行进货查验记录制度：查验供货者的市场主体登记证明、化妆品注册或者备案情况、产品出厂检验合格证明等，并如实记录并保存相关凭证。

3. 消费者应提高警惕：在购买化妆品时，注意查看产品的生产日期和限期使用日期，避免购买和使用过期化妆品。

综上所述，对于过期儿童化妆品的处罚是严格且明确的。商家应严格遵守相关法规，确保所售化妆品的质量和安全；消费者也应提高警惕，保护自己的合法权益。