关于财务预算公示后未退款能否退回的问题，这主要取决于具体的合同条款、相关法律规定以及双方的实际履行情况。以下是我从不同角度为您进行的分析：
一、合同条款角度
查看合同约定：
- 首先，您需要仔细审查与退款相关的合同条款。合同中通常会明确约定退款的条件、时间、方式等。如果合同中明确规定了公示后未退款可以退回，那么您有权要求对方按照合同约定进行退款。
- 如果合同中没有明确约定，或者约定不明确，那么您可能需要依据相关法律规定或行业惯例来主张权利。
合同解释与履行：
- 在合同解释上，如果合同条款存在歧义或不明确，双方可以协商解决。如果协商不成，可以依据《民法典》中关于合同解释的规定，结合合同目的、交易习惯等来确定条款的真实意思。
- 在合同履行上，如果对方未按照合同约定履行退款义务，您有权要求对方承担违约责任，包括继续履行、采取补救措施或赔偿损失等。
二、法律规定角度
《民法典》相关规定：
- 根据《民法典》中关于合同的规定，如果一方未按照合同约定履行义务，另一方有权要求其承担违约责任。这包括要求对方继续履行合同、采取补救措施或赔偿因违约造成的损失。
- 如果退款行为构成不当得利，即对方没有合法依据而获得了您的财产，您也有权依据《民法典》中关于不当得利的规定要求对方返还。
其他相关法律规定：
- 除了《民法典》外，如果退款行为涉及特定领域（如金融、保险等），还可能受到相关领域专门法律的调整。您需要查看这些法律是否对退款问题有特别规定。
三、实际操作角度
与对方协商：
- 在发现对方未按照约定退款后，您可以首先尝试与对方进行协商，了解未退款的原因，并寻求解决方案。如果对方同意退款，那么问题可以得到迅速解决。
寻求法律救济：
- 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这包括向法院提起诉讼或向相关仲裁机构申请仲裁。在诉讼或仲裁过程中，您需要提供充分的证据来证明自己的主张。
注意时效问题：
- 在寻求法律救济时，您需要注意时效问题。根据《民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年。因此，您需要在知道或应当知道权利受到损害之日起三年内提起诉讼或申请仲裁。
建议您：
- 首先仔细审查合同条款，了解退款的具体约定；
- 如果合同中没有明确约定或约定不明确，可以尝试与对方进行协商；
- 如果协商无果且认为自己的权益受到侵害，可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。