不可以申请案件封存。对于盗窃罪被判拘役一个月，五年后没有再犯的情况，并不符合申请案件封存的条件。

在我国，案件封存通常与未成年人犯罪记录封存制度相关。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于犯罪的时候不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。但此规定并不适用于成年人，且你的描述中并未提及当事人犯罪时为未成年人，且被判处的刑罚也并非五年有期徒刑以下。

因此，基于你提供的信息，当事人并不能申请案件封存。如果你对此有进一步的疑问或需要更详细的法律解释，可以直接向我咨询。