针对您提出的“员工下班后在家送医院猝死，公司应该怎么处理”这一问题，我会结合相关法律和实际案例，为您提供一个清晰、详细且具有深度的解答。

首先，我们需要明确的是，员工下班后在家猝死，这一情况是否属于工伤范畴，是处理此类事件的关键。根据《工伤保险条例》，工伤认定通常需要满足“在工作时间和工作岗位内，因工作原因受到事故伤害”的基本条件。若员工在工作时间和工作岗位内突发疾病死亡，还需符合在48小时之内经抢救无效死亡的条件，才能被认定为工伤。

然而，在实际操作中，情况往往更为复杂。以您提供的案例为例，员工阿龙长时间连续加班，下班后在家突发疾病死亡。虽然其死亡发生在非工作时间、工作地点，但考虑到其长时间的工作时长、密集的加班行为，以及死亡当日加班至较晚时间才回家休息的情况，法院最终认定阿龙的死亡与工作具有一定因果关系，属于雇主责任险合同约定的保险范围。

基于这一案例，我们可以得出以下处理建议：

1. 及时沟通与安抚：

   • 公司应第一时间与员工家属取得联系，表达哀悼和关切之情，同时了解家属的具体需求和困难。
   • 安排专人负责与家属沟通，确保信息传递的准确性和及时性，避免误解和不必要的纠纷。

2. 调查与取证：

   • 公司应尽快组织内部调查，了解员工的工作情况、加班记录、健康状况等，以收集可能影响工伤认定的相关证据。
   • 若公司投保了雇主责任险或其他相关保险，应及时向保险公司报案，并配合保险公司的调查工作。

3. 法律咨询与应对：

   • 公司应咨询专业律师，了解员工猝死事件可能涉及的法律责任和赔偿标准。
   • 根据律师的建议，制定应对策略，包括是否申请工伤认定、如何与家属协商赔偿等。

4. 协商与赔偿：

   • 在了解法律责任和赔偿标准的基础上，公司应与家属进行协商，就赔偿事宜达成一致意见。
   • 若协商无果，公司可考虑通过法律途径解决纠纷，但应尽量避免诉讼对双方造成的不必要损失。

5. 完善内部管理：

   • 公司应借此机会审视自身的管理制度，特别是关于工作时间、加班安排、员工健康关怀等方面的规定。
   • 完善相关制度，确保员工的合法权益得到保障，同时降低公司因员工健康问题而引发的法律风险。

综上所述，员工下班后在家猝死，公司应首先与家属沟通安抚，然后进行调查取证，咨询法律意见，协商赔偿事宜，并完善内部管理。在处理过程中，公司应秉持人道主义精神，尊重员工和家属的权益，同时依法维护自身的合法权益。