结论前置：
- 一般情况下，法院判定劳动关系确立后，若公司未在法定上诉期限内上诉，则不能再上诉，一审判决生效。
- 若存在法律规定的特殊情况，如发现新证据等，且经法院准许，公司可开启二审程序。
详细分析：
在处理劳动纠纷时，一旦法院对劳动关系进行了判定，这一判定通常具有法律效力。针对您提出的“劳动关系一个月公司还能上诉吗”的问题，我们需要从两个方面进行考虑：
一、法定上诉期限内的情况
- 上诉权利：公司若对一审判决结果不满，有权在法定的上诉期限内提起上诉。这是法律赋予公司的基本权利，旨在保障其合法权益得到充分救济。
- 上诉期限：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，公司应在收到一审判决书之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。若逾期未上诉，则一审判决生效，公司丧失上诉权。
- 一审判决生效：一旦一审判决生效，即具有法律约束力，公司必须履行判决所确定的义务。此时，公司再提出上诉将不被受理。
二、存在法定特殊情况的情况
- 新证据的出现：若在上诉期限届满后，公司发现了新的证据，且该证据足以影响原判决的结果，公司可以按照法律规定向法院申请再审或提起二审程序。但这一过程需要严格遵循法律程序，并获得法院的准许。
- 其他法定情形：除了新证据的出现外，法律还规定了其他可能导致再审或二审程序的情形，如原判决适用法律确有错误、违反法定程序等。但同样，这些情形的适用也需要严格遵循法律程序。
法律建议：
- 谨慎对待上诉：公司在面对一审判决结果时，应深入研究法律规定，全面评估自身情况，再决定是否上诉。盲目上诉不仅可能浪费大量的人力、物力和时间，还可能面临二审维持原判的结果，甚至可能因为上诉过程中的不当行为给自己带来更多的不利因素。
- 及时行使权利：若公司决定上诉，应在法定的上诉期限内及时行使权利，避免因逾期而丧失上诉权。
- 寻求专业帮助：在处理劳动纠纷时，公司可以寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到充分保障。
可能后果：
- 若公司未在法定上诉期限内上诉：一审判决生效，公司必须履行判决所确定的义务。若公司拒不履行，可能面临强制执行等法律后果。
- 若公司存在法定特殊情况并申请再审或二审：法院将依法进行审查，并决定是否启动再审或二审程序。若法院决定启动再审或二审程序，公司将有机会在新的审判程序中维护自身权益。
综上所述，公司在面对劳动关系判定后是否上诉的问题时，应谨慎对待并全面评估自身情况。若有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。