公安办理刑事案件的期限因案件阶段和复杂程度的不同而有所差异。以下是对各阶段期限的详细说明：

1. 拘留阶段：

   • 一般情况：公安机关对被拘留的人，若认为需要逮捕，应在拘留后的3日以内提请人民检察院审查批准。
   • 特殊情况：对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可延长至30日。人民检察院应在接到公安机关提请批准逮捕书后的7日以内作出决定。因此，这类案件的拘留最长期限可能达到37天（3日提请批捕期+最长30日提请审查批准期+7日人民检察院决定期，但实际操作中人民检察院决定期通常计入提请审查批准期内考虑，故最长拘留期表述为37天是为了涵盖所有可能时间，实际计算时需注意重叠部分）。

2. 逮捕后的侦查羁押期限：

   • 一般期限：对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过2个月。
   • 延长情况：
     • 案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长1个月。
     • 对于交通十分不便的边远地区的重大复杂案件、重大的犯罪集团案件、流窜作案的重大复杂案件以及犯罪涉及面广、取证困难的重大复杂案件，若在上述期限届满仍不能侦查终结，经省、自治区、直辖市人民检察院批准，可再延长2个月。
     • 若犯罪嫌疑人可能被判处10年有期徒刑以上刑罚，且依照前述规定延长期限届满后仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或决定，还可再延长2个月。

举例说明：

• 假设一个案件属于流窜作案的重大复杂案件，公安机关在拘留后的第30日提请人民检察院审查批准逮捕，人民检察院在7日内作出批准逮捕的决定。那么，从拘留开始算起，已经过去了37天。随后，进入逮捕后的侦查羁押阶段，若案情复杂，可经上一级人民检察院批准延长1个月；若该案件还属于交通十分不便的边远地区的重大复杂案件，则还可再经省级人民检察院批准延长2个月；若犯罪嫌疑人可能被判处10年有期徒刑以上刑罚，且在前述延长期限届满后仍不能侦查终结，则还可再经省级人民检察院批准或决定延长2个月。

法律建议：

• 公安机关在办理刑事案件时，应严格遵守各阶段的期限规定，确保办案程序的合法性和正当性。
• 若案件情况复杂，需要延长侦查羁押期限的，应及时向上级人民检察院或省级人民检察院提出申请，并附上相关证据材料。
• 犯罪嫌疑人及其家属也有权了解案件的进展情况和期限规定，若认为公安机关或人民检察院的处理存在违法或不当之处，可依法提出申诉或控告。

可能法律后果：

• 若公安机关未能在规定期限内完成侦查或提请审查批准逮捕等工作，可能会面临程序违法的风险，影响案件的后续处理。
• 若人民检察院未能在规定期限内作出决定，也可能会面临相应的法律责任。

如有任何关于刑事案件期限或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。