关于执行案件终结执行后法院提起诉讼的条件，实际上这里可能存在一些概念上的混淆。在执行程序中，通常所说的“终结执行”是指执行案件因特定原因而无法继续进行，从而结束执行程序的一种状态，而并非法院在终结执行后提起诉讼。不过，从用户提问的角度出发，我理解您可能是想询问在执行案件终结执行后，若发现新的财产线索或被执行人有履行能力，申请执行人应如何寻求救济，以及这与法院“提起诉讼”（在此语境下更准确地说可能是恢复执行或采取其他法律措施）的关系。
终结执行后的救济途径：
- 当执行案件因特定原因（如被执行人无财产可供执行、执行标的灭失等）被终结执行后，若申请执行人发现被执行人有新的财产线索或具备履行能力，可以向执行法院申请恢复执行。
- 恢复执行需要满足一定的条件，包括但不限于：提供新的财产线索、证明被执行人具备履行能力等。法院在审查后，若认为符合恢复执行的条件，将裁定恢复执行。
法院在终结执行后的角色：
- 法院在终结执行后，并不直接“提起诉讼”，因为执行程序本身并非诉讼程序。但法院会根据申请执行人的申请，对是否恢复执行进行审查，并作出相应的裁定。
- 若申请执行人认为被执行人的行为构成犯罪（如拒不执行判决、裁定罪），可以向公安机关报案，由公安机关进行侦查，并可能由检察机关提起公诉。但这与执行案件的终结执行无直接关联，而是涉及刑事法律责任。
申请恢复执行的具体流程：
- 申请执行人应向执行法院提交恢复执行的申请书，并提供相关证据材料（如新的财产线索、被执行人具备履行能力的证明等）。
- 法院在收到申请后，将进行审查。若认为符合恢复执行的条件，将裁定恢复执行，并通知双方当事人。
- 恢复执行后，法院将继续采取执行措施，以实现申请执行人的合法权益。
注意事项：
- 申请恢复执行应在法定的期限内提出，具体期限可能因地区或案件类型而异。
- 申请执行人应确保提供的财产线索或证明材料真实、有效，否则可能承担相应的法律责任。
综上所述，执行案件终结执行后，若申请执行人发现新的财产线索或被执行人有履行能力，可以向执行法院申请恢复执行。法院在审查后，若认为符合恢复执行的条件，将裁定恢复执行。若您在执行案件中遇到相关问题，或需要进一步的法律咨询，请随时向我咨询。