私生子在继承遗产的法庭上可以申请隐私保护。以下是对此问题的详细分析：

一. 隐私保护的法律基础

1. 隐私权的法律规定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。

2. 涉及个人隐私案件的处理原则：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百三十四条，人民法院审理民事案件时，除涉及国家秘密、个人隐私或者法律另有规定的以外，应当公开进行。这意味着涉及个人隐私的案件，法院可以选择不公开审理，以保护当事人的隐私权益。

二. 继承案件中隐私保护的具体应用

1. 继承案件中的隐私考量：

   • 继承案件往往涉及家庭成员的财产关系和身份关系，这些关系可能包含个人隐私。特别是当案件涉及非婚生子女（私生子）时，其身份、亲子关系等敏感信息更可能被视为个人隐私。

2. 申请不公开审理的权利：

   • 在继承案件中，如果当事人认为案件涉及个人隐私，有权向法院申请不公开审理。法院在接到申请后，会依法进行审查，并根据案件的具体情况决定是否准许不公开审理。

三. 实际操作中的建议

1. 准备充分的证据：

   • 私生子在申请不公开审理的同时，应准备充分的证据证明其身份、亲子关系以及与继承案件相关的其他事实。这些证据有助于法院判断案件是否涉及个人隐私，并作出相应的审理决定。

2. 尊重法律程序：

   • 在申请不公开审理的过程中，应尊重法律程序，按照法院的要求提交申请材料，并配合法院的调查和审理工作。

综上所述，私生子在继承遗产的法庭上可以申请隐私保护。如果案件涉及个人隐私，法院在接到申请后可能会决定不公开审理，以保护当事人的隐私权益。同时，我建议私生子在申请过程中准备充分的证据，并尊重法律程序。如有进一步需要，您可以继续咨询我。