针对您提出的“父亲城镇职工，儿子农村居民，怎么证明父子关系”的问题，这确实是一个在实际生活中可能会遇到的难题，特别是在需要办理一些涉及亲属关系的业务时。以下是一些可能的证明途径和详细解答：

一、传统证明材料

1. 户口簿：

   • 如果父子两人的户口曾经在同一本户口簿上，且户口簿上有明确的父子关系记录，那么这本户口簿就是最直接的证明材料。
   • 但如果像案例中提到的，父子因分户等原因导致户口簿上无法体现父子关系，那么这一途径就行不通了。

2. 出生医学证明：

   • 儿子出生时，医院会出具出生医学证明，上面通常会记录父母的信息。如果这份证明保存完好，且上面有明确的父子关系记录，那么它也可以作为证明材料。
   • 但考虑到时间跨度可能较长，且出生医学证明可能因各种原因丢失或损坏，这一途径的可行性也需根据实际情况判断。

3. 独生子女证：

   • 如果家庭是独生子女家庭，且持有独生子女证，那么这份证件也可以作为证明父子关系的材料之一。
   • 但同样，独生子女证也可能因时间久远而丢失或损坏。

二、其他证明途径

1. 公证处公证：

   • 当传统证明材料无法获取或不足以证明父子关系时，可以考虑前往公证处进行公证。
   • 公证处会要求提供一系列可信度高的材料，如结婚证、出生医学证明（如有）、独生子女证（如有）、有效力的亲子鉴定报告等，来证明父子关系。
   • 如果无法直接提供这些材料，公证处也可能通过证人证明、公证处核实调查的情况等两个以上的证据材料互为佐证，来出具亲属关系证明。
   • 需要注意的是，公证处出具亲属证明每件收费为80元左右（具体费用可能因地区而异），且若涉及财产继承、赠予和遗赠，包括亲属关系在内的证明费用需按标的计算。

2. 单位人事档案：

   • 如果父亲或儿子所在的工作单位有保存人事档案，且档案中有记录父子关系的信息，那么这份档案也可以作为证明材料。
   • 但这一途径的可行性取决于单位是否愿意提供档案信息，以及档案中是否确实有相关记录。

3. 社区居委会或村委会证明：

   • 虽然社区居委会或村委会出具的情况说明等证明材料只能作为辅助证据，但在某些情况下，它们也可能被接受作为证明父子关系的材料之一。
   • 但需要注意的是，由于社区或村委会对居民的了解程度有限，其出具的证明可能存在一定的不确定性。

三、特殊情况下的证明途径

1. 亲子鉴定：

   • 在无法通过其他途径证明父子关系的情况下，亲子鉴定是一种最为直接和准确的证明方法。
   • 亲子鉴定需要前往专业的鉴定机构进行，并支付一定的鉴定费用。

2. 历史档案或记录：

   • 如果父子两人曾经共同生活过，且有一些历史档案或记录（如学校档案、工作档案等）中记录了他们的父子关系，那么这些档案或记录也可以作为证明材料。

四、建议与总结

1. 提前准备：

   • 在需要办理涉及亲属关系的业务时，建议提前了解所需证明材料，并尽可能提前准备齐全。

2. 咨询相关部门：

   • 如果对所需证明材料有疑问或不确定如何准备，可以咨询相关部门（如派出所、公证处等）以获取准确信息。

3. 保持耐心与理解：

   • 在证明父子关系的过程中，可能会遇到一些困难和挑战。此时需要保持耐心与理解，积极与相关部门沟通并寻求解决方案。

综上所述，证明父子关系需要综合考虑多种因素和途径。在实际操作中，可以根据具体情况选择最适合的证明方法，并提前做好准备和咨询工作。