利用他人关系查询他人姓名及手机号码被报案，是否会被拘留，需根据具体情况来判断：

1. 如果查询行为构成违法：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，非法获取、出售或者提供公民个人信息，情节较轻的，可能会受到罚款、拘留等行政处罚。如果利用他人关系查询他人姓名及手机号码的行为被认定为非法获取公民个人信息，且情节达到一定严重程度，那么行为人可能会被拘留。

2. 如果查询行为不构成违法，但侵犯了他人的隐私权：

   • 即使查询行为没有直接违反治安管理处罚法，但如果未经他人同意，擅自利用他人关系查询并获取其姓名及手机号码，可能构成对他人隐私权的侵犯。在这种情况下，虽然不会直接导致拘留，但行为人可能需要承担民事责任，如赔偿损失、赔礼道歉等。同时，如果这种行为被多次实施或者造成了严重后果，也可能引发更严重的法律后果。

3. 如果查询行为涉及更严重的犯罪：

   • 如果利用他人关系查询他人姓名及手机号码的行为是为了实施更严重的犯罪，如诈骗、敲诈勒索等，那么行为人不仅可能面临拘留，还可能被追究刑事责任。

法律建议：

• 在日常生活中，应尊重他人的隐私权，不要擅自利用他人关系查询并获取他人的个人信息。
• 如果确实需要获取他人的某些信息，应通过合法途径进行，如直接向本人询问、通过公开渠道查询等。
• 如果发现自己的个人信息被他人非法获取或利用，应及时向公安机关报案，并寻求法律帮助。

总之，利用他人关系查询他人姓名及手机号码被报案后是否会被拘留，取决于查询行为的具体性质、情节以及造成的后果。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。