在探讨公司什么情况下辞退员工不用补偿的问题时，我们可以根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的规定，明确以下几种情形：

1. 试用期间不符合录用条件：

   • 公司需在招聘时明确录用条件，并能提供考核标准及结果。
   • 如员工在试用期内无法达到这些标准，公司可以辞退且无需支付经济补偿。
   • 例如，若公司招聘时要求熟练掌握某项技能，而员工在试用期内未能掌握，公司可据此辞退。

2. 严重违反用人单位规章制度：

   • 规章制度需合法、合理，且经过民主程序制定并向员工公示。
   • 当员工严重违反这些规章制度时，如多次旷工、严重扰乱工作秩序等，公司可以辞退且无需补偿。
   • 例如，若公司规定一个月内累计旷工达一定天数属于严重违纪，员工实际旷工超过该天数，公司可辞退。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • “严重失职”指员工未尽到工作职责，“营私舞弊”指员工为个人私利采取不正当手段。
   • 当这些行为给公司造成“重大损害”时，公司可以辞退员工且无需补偿。
   • “重大损害”的界定需结合公司实际情况和相关行业标准。
   • 例如，财务人员因疏忽大意导致公司资金被骗取巨额款项，即属此类情况。

4. 与其他用人单位建立劳动关系，影响本职工作：

   • 若员工同时与其他公司建立劳动关系，且对完成本公司工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正其兼职行为，公司可以辞退且无需支付经济补偿。
   • 例如，员工在正常工作时间经常请假去另一家公司工作，导致本职工作延误，且在公司要求其停止兼职后仍拒绝改正。

5. 以欺诈、胁迫手段订立或变更劳动合同：

   • 如果员工通过欺诈、胁迫手段或使用公司乘人之危，在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，该劳动合同将被视为无效。
   • 公司在此情况下可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。
   • 例如，员工在应聘时提供虚假的学历证书或工作经历等重要信息。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 当员工被法院判处刑罚时，公司可以辞退且无需支付经济补偿。
   • 这包括主刑和附加刑。

综上所述，公司在上述六种情况下辞退员工无需支付经济补偿。然而，在实际操作中，公司应确保辞退行为的合法性和合理性，避免引发不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。