私生子既可以享受继承权，也可以继承公司财产。

首先，明确一下私生子的法律地位。私生子，即非婚生子女，根据《中华人民共和国民法典》的规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。这意味着在继承权上，私生子与婚生子女是平等的。

接下来，我们分析继承权的具体内容。继承权包括继承遗产的权利，而遗产并不仅限于个人财产，它还包括了被继承人所有的合法财产，如房产、存款、股票、公司股权等。因此，私生子作为第一顺序的继承人，有权继承包括公司财产在内的所有遗产。

当然，也存在一些特殊情况。比如，如果被继承人生前立有遗嘱，并且遗嘱中明确排除了私生子的继承权，那么私生子就无法按照法定继承的顺序继承遗产。但这种情况下，私生子仍然可以通过其他法律途径来维护自己的权益，比如提起遗嘱无效之诉等。

综上所述，私生子既可以享受继承权，也可以继承公司财产。这是法律赋予他们的权利，任何组织或者个人都不能剥夺。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。