员工没有签合同且擅自离职，用人单位应依法处理并维护自身权益。

一. 明确法律责任与权益

1. 员工责任：员工未签劳动合同擅自离职，可能违背了劳动关系中的诚信原则。若因此给用人单位造成损失，员工需承担赔偿责任。同时，若员工与原单位签有保密协议、竞业限制协议等，即便未签劳动合同，擅自离职也可能因违反协议约定而承担违约责任。

2. 用人单位责任：根据《劳动合同法》，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，若员工在职期限已超越了整整一个月但尚不足一整年，用人单位有责任支付双倍薪资。

二. 处理措施

1. 固定证据：用人单位应尽快固定考勤记录、工作成果、沟通记录等证据，以证明员工的工作事实及离职情况。这些证据在后续可能的经济损失索赔或劳动争议解决中至关重要。

2. 计算工龄与薪资：准确计算员工的工龄，若其在职期限未超出一个月，则未签书面劳动合同属于法律允许范围；若超出一个月但不足一年，则需按法律规定支付双倍薪资。

3. 请求赔偿：若员工擅自离职导致用人单位遭受经济损失，用人单位有权依法请求员工做出相应赔偿。但需注意，用人单位需对损失承担举证责任，证明损失的实际发生及与员工擅自离职存在因果关系。

4. 完善管理制度：用人单位应尽快完善人事管理制度，规范劳动合同的签订与解除流程，明确双方的权利和义务，以有效防止类似纠纷再度发生。

三. 后续建议

• 与员工沟通协商：在采取法律措施之前，用人单位可以尝试与员工进行沟通协商，看是否能够妥善解决纠纷，避免不必要的法律程序。
• 加强法律意识：用人单位应增强法律意识，确保在员工入职时及时签订书面劳动合同，以维护双方的合法权益。

我建议用人单位在处理此类情况时，应依法行事，同时注重证据的收集和保存。如有进一步需要，您可以继续咨询我。