事业单位驾驶员酒驾的处理方式主要遵循《中华人民共和国道路交通安全法》以及事业单位内部的相关规定。以下是详细的处理流程和相关解释：

首先，从法律层面来看，根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条的规定：

1. 饮酒后驾驶机动车的，会被公安机关交通管理部门处暂扣六个月机动车驾驶证，并处一千元以上二千元以下罚款。
2. 如果因饮酒后驾驶机动车被处罚后，再次饮酒后驾驶机动车，将处十日以下拘留，并处一千元以上二千元以下罚款，同时吊销机动车驾驶证。
3. 对于醉酒驾驶机动车的，公安机关交通管理部门会约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，并依法追究刑事责任；且五年内不得重新取得机动车驾驶证。

接下来，从事业单位内部管理的角度来看：

事业单位驾驶员作为公职人员，除了接受交警部门的处罚外，还需要接受各级纪检监察机关及相关单位的纪律惩戒。根据事业单位的相关规定，如果事业单位工作人员被依法判处刑罚，通常会给予降低岗位等级或者撤职以上的处分。对于醉驾这种严重违法行为，事业单位甚至可能会作出直接开除公职的决定，以示惩罚与警醒。

综上所述，事业单位驾驶员酒驾将面临法律处罚和事业单位内部的纪律惩戒双重处理。因此，建议事业单位驾驶员严格遵守交通法规，杜绝酒驾行为，以维护自身形象和职业生涯。