当事人应在接到驳回再审申请裁定之日起六个月内向上一级人民检察院申请检察建议或抗诉。这一规定为当事人提供了在再审申请被驳回后的进一步救济途径，同时也设定了明确的时间限制，以确保司法程序的有序进行。

详细分析

1. 法律依据：

   • 根据相关法律规定，当事人在接到驳回再审申请裁定后，有权在六个月内向上一级人民检察院申请检察建议或抗诉。

2. 期限的灵活性：

   • 虽然法律规定了六个月的期限，但在某些特殊情况下，如存在新的证据足以推翻原判决等，申请的期限可能会有所变动。

3. 抗诉的条件：

   • 当事人申请抗诉需满足一定条件，如人民法院驳回再审申请、再审判决或裁定有明显错误等。
   • 检察院会对申请进行审查，只有符合条件的才会依法提出抗诉。

4. 申请流程：

   • 当事人需要准备充分的证据和材料来支持抗诉申请。
   • 申请应提交至作出生效裁判法院的同级人民检察院。
   • 检察院会对申请进行形式审查和实质审查，以决定是否受理及提出抗诉。

5. 注意事项：

   • 当事人应严格遵守法律规定的期限和程序，否则可能会丧失申请抗诉的权利。
   • 不同地区检察院对于抗诉申请的具体流程和要求可能存在细微差别，当事人应提前了解并遵循。

综上所述，当事人在接到驳回再审申请裁定后，应尽快在六个月内向上一级人民检察院申请检察建议或抗诉，并准备充分的证据和材料来支持申请。同时，也应注意不同地区检察院的具体流程和要求，以确保申请的顺利进行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。