私生子享有财产继承权。下面从法律角度详细解析这一问题：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条的规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。这一条款明确赋予了私生子与婚生子女同等的法律地位，包括在财产继承方面的权利。
   • 《民法典》第一千一百二十七条进一步规定，遗产按照法定顺序继承，其中第一顺序继承人包括配偶、子女（包括婚生子女和非婚生子女）、父母。这再次确认了私生子在法定继承中的平等地位。

2. 继承权的行使：

   • 法定继承：在没有遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，私生子作为被继承人的子女，有权按照法定继承顺序参与遗产分配，与婚生子女享有平等的继承权。
   • 遗嘱继承：如果被继承人立有合法有效的遗嘱，并指定私生子为继承人之一，那么私生子将按照遗嘱的内容继承相应的遗产份额。但需要注意的是，遗嘱的订立必须符合法律规定的形式要件和实质要件，否则可能被视为无效遗嘱。

3. 特殊情况下的考虑：

   • 在某些特殊情况下，如被继承人生前对私生子有特别的照顾或安排，法院在判决时可能会考虑这些因素，对遗产分配进行适当的调整。但这并不意味着私生子的继承权会受到剥夺或限制，而是在具体分配上可能会有所不同。

综上所述，私生子在法律上享有与婚生子女同等的财产继承权。这一权利受到《民法典》的明确保护，任何组织或个人都不得加以危害和歧视。在继承过程中，无论是法定继承还是遗嘱继承，私生子都有权参与并享受相应的继承份额。