关于“歌舞伎世家私生子是否可以继承”的问题，首先明确一点：在法律上，私生子（即非婚生子女）与婚生子女享有同等的权利，这包括继承权。以下是对此问题的详细解答：

1. 法律地位平等：

   • 根据相关法律规定，非婚生子女与婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女在法律上享有同等的权利和义务。这意味着，在继承方面，私生子与婚生子具有相同的法律地位。

2. 继承权的行使：

   • 私生子作为法定继承人之一，有权在被继承人（如歌舞伎世家的成员）去世后，按照法律规定的继承顺序和份额参与遗产的分配。
   • 如果被继承人留有遗嘱，且遗嘱中明确指定了私生子为继承人或分配了特定的遗产份额，那么私生子将按照遗嘱的内容行使继承权。

3. 特殊情况下的处理：

   • 在某些特殊情况下，如被继承人通过遗嘱或其他方式排除了私生子的继承权，或者私生子的身份存在争议（如需要通过DNA鉴定来确认），则可能需要通过法律程序来解决继承问题。
   • 如果私生子在继承过程中遇到任何阻碍或争议，可以寻求法律援助，通过法律途径来维护自己的合法权益。

综上所述，歌舞伎世家的私生子在法律上享有与婚生子女同等的继承权。在实际操作中，应尊重私生子的法律地位，确保其能够依法行使继承权。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师以获取法律帮助。