在押一付一且没有签订书面租赁合同的情况下，押金一般是应当退还的。以下是详细的分析和解释：

1. 事实租赁关系的形成：

   • 虽然未签订书面租赁合同，但如果双方实际上已经按照押一付一的方式履行了租赁行为，那么可以认为双方之间形成了事实租赁关系。

2. 押金的作用与退还原则：

   • 押金的主要作用是保障房屋及设施的完好，确保承租人在租赁期间不会损坏房屋或设施。
   • 如果租赁期间承租人没有违约行为，且未对房屋及设施造成损坏，那么房东在租赁关系结束后应当退还押金。

3. 法律依据：

   • 根据《民法典》的相关规定，当事人订立合同可以采取书面、口头等形式。因此，即使未签订书面合同，口头租赁协议也具有法律效力。
   • 房东收取押金作为担保，当租赁关系结束且无其他纠纷时，房东需按照约定返还押金。

4. 特殊情况的处理：

   • 如果房东能够证明承租人在租赁期间有违约行为，如提前退租、损坏房屋设施等，房东可以根据实际损失扣除相应费用，然后将剩余部分退还承租人。
   • 如果双方就押金退还产生争议，承租人可以通过收集支付凭证、聊天记录等证据来证明租赁关系及已支付押金的事实，并尝试通过协商或诉讼的方式解决争议。

综上所述，押一付一且没有签订书面租赁合同的情况下，如果承租人没有违约行为且房屋及设施保持完好，房东应当退还押金。如果双方存在争议，建议通过协商或法律途径解决。