劳务派遣员工发生工伤时，责任的承担是一个涉及多个主体的问题，以下是根据相关法律法规给出的详细解答：
结论前置
劳务派遣员工发生工伤，主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，但劳务派遣单位可以与用工单位约定补偿办法。若劳务派遣单位不支付工伤待遇，用工单位在先行支付后有权向劳务派遣单位追偿。劳务派遣单位和用工单位对工伤员工承担连带赔偿责任。
详细分析
劳务派遣单位的责任：
- 根据《劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是派遣员工的用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，这包括承担工伤保险责任。
- 《劳务派遣暂行规定》第十条也明确规定，被派遣劳动者在用工单位因工作遭受事故伤害的，劳务派遣单位应当依法申请工伤认定，并承担工伤保险责任。
用工单位的责任：
- 用工单位在工伤认定过程中有协助调查核实的义务。
- 若劳务派遣单位不支付工伤待遇，用工单位需要先行支付，并有权在支付后向劳务派遣单位追偿。
连带赔偿责任：
- 劳务派遣单位和用工单位对工伤员工承担连带赔偿责任。这意味着，劳动者可以向其中一方主张全部赔偿责任，该方赔付后，再依据约定或法律规定向另一方追偿。
举例说明
假设劳务派遣员工张三在用工单位工作期间发生工伤，其工伤保险责任应由劳务派遣单位承担。如果劳务派遣单位未按时支付工伤待遇，用工单位可以先行支付，并在支付后向劳务派遣单位追偿。同时，张三也有权要求劳务派遣单位和用工单位承担连带赔偿责任。
法律建议
- 对于劳务派遣员工来说，了解清楚自己的工伤保险责任归属是非常重要的。一旦发生工伤，应及时向劳务派遣单位和用工单位主张自己的权益。
- 劳务派遣单位和用工单位也应明确各自的责任和义务，确保在工伤事件发生时能够迅速、妥善地处理。
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