集体合同生效后，工会承担的首要法定义务是监督集体合同的履行。下面我将对此进行详细解释：

法律背景

根据《中华人民共和国劳动法》和《集体合同规定》，集体合同是经全体职工或者职工代表大会讨论同意后，由工会或者职工委托的代表与用人单位规范劳动关系，以规范劳动条件为中心内容的协议。集体合同一旦生效，对用人单位和全体劳动者均具有约束力，而工会作为劳动者一方的代表，在集体合同的履行过程中承担着重要的监督职责。

具体义务

1. 监督履行：工会需要监督用人单位是否按照集体合同的约定履行各项义务，包括但不限于劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利等事项。如果用人单位违反集体合同，工会应当及时提出意见并要求改正。

2. 维护权益：在集体合同履行过程中，如果劳动者的合法权益受到侵害，工会应当代表劳动者与用人单位进行协商，维护劳动者的合法权益。

3. 沟通桥梁：工会还需要作为劳动者与用人单位之间的沟通桥梁，及时传达劳动者的意见和建议，促进双方之间的和谐劳动关系。

实例说明

假设某公司签订了一份集体合同，其中规定员工每周工作时间不超过40小时。如果公司后来要求员工加班超过这一时间限制，那么工会就有责任监督这一情况，并向公司提出意见，要求公司遵守集体合同的约定，保护员工的合法权益。

综上所述，集体合同生效后，工会承担的首要法定义务是监督集体合同的履行，确保用人单位和劳动者双方都能按照合同的约定履行各自的义务，维护和谐稳定的劳动关系。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。