行政机构申请强制执行案件是可以执行和解的。下面我将从法律依据、和解条件及和解后果等角度进行详细阐述：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国行政强制法》第四十二条第一款规定：“实施行政强制执行，行政机关可以在不损害公共利益和他人合法权益的情况下，与当事人达成执行协议。”这表明，行政强制执行过程中，和解是法律允许的一种方式。
和解条件：
- 和解必须在不损害公共利益和他人合法权益的前提下进行。
- 行政机关与当事人需要就执行标的、履行方式、履行期限等达成一致，并形成书面的执行协议。
- 执行协议可以约定分阶段履行，当事人采取补救措施的，还可以减免加处的罚款或者滞纳金。
和解后果：
- 如果当事人按照执行协议履行了义务，那么行政机关将不再继续执行原行政决定。
- 如果当事人不履行执行协议，行政机关有权恢复强制执行，并按照原行政决定或法律规定采取相应措施。
- 和解协议必须遵循合法、自愿、公平的原则，任何损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益的和解都是无效的。
综上所述，行政机构在申请强制执行案件时，如果符合相关条件，是可以与当事人进行和解的。和解有助于化解矛盾，提高执行效率，同时也保护了当事人的合法权益。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。