当您在厂里上班时手指不幸断裂，赔偿流程通常遵循以下步骤，以确保您的权益得到妥善处理：

一、工伤认定

1. 提出申请：首先，您需要向当地劳动保障行政部门提出工伤认定申请。这一步是确认您的伤害是否属于工伤的关键。
2. 提交材料：在申请时，您需要准备并提交一系列材料，包括劳动合同、医疗诊断证明（如医院出具的诊断书、治疗记录等）、事故现场照片（如果可能的话）、目击者证言等，以证明您的伤害是在工作过程中发生的。
3. 等待认定：劳动部门会根据您提交的材料以及他们的调查结果，作出是否属于工伤的认定结论。

二、劳动能力鉴定

1. 申请鉴定：待您的伤情稳定后，需要向劳动能力鉴定委员会申请鉴定，以确定您的伤残等级。这是确定赔偿数额的重要依据。
2. 提交资料：在申请鉴定时，您需要提交医疗诊断证明、工伤认定决定书等相关资料。
3. 接受鉴定：鉴定委员会将根据您的伤情、治疗情况等因素，进行综合评估，最终确定您的伤残等级。

三、计算赔偿项目及数额

赔偿项目通常包括：

1. 医疗费：凭医疗机构出具的票据实报实销，包括治疗费、药费、住院费等。
2. 停工留薪期工资：在停工留薪期内，您的原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
3. 一次性伤残补助金：根据您的伤残等级，按照《工伤保险条例》的规定，您将获得一定月数的本人工资作为一次性伤残补助金。例如，七级伤残为13个月的本人工资，八级为11个月，以此类推。
4. 其他补助：若您与单位解除劳动关系，还可能获得一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金，具体标准由所在省、自治区、直辖市人民政府规定。

四、协商赔偿与法律途径

1. 与厂方协商：在确定了赔偿项目及数额后，您应与厂方进行协商，争取达成赔偿协议。
2. 申请劳动仲裁或诉讼：如果协商不成，您可以通过劳动仲裁或诉讼来维护自己的合法权益。在这一过程中，您可能需要寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。

总之，在厂里上班手指断了，赔偿事宜需要您按照上述步骤逐一进行。在整个过程中，保持冷静、理性，并尽可能收集齐全相关证据材料，是确保您权益得到妥善处理的关键。