为了确保遗嘱中明确表明不给私生子继承财产，并且使该遗嘱具有法律效力，您需要遵循以下步骤和原则：

一、明确遗嘱内容

在遗嘱中，您需要清晰、明确地指出遗产的分配方案，并特别说明私生子不享有继承权。例如，您可以写明：“本人决定，我的全部遗产（或具体列明的遗产）将由我的配偶、子女（此处应明确是婚生子女）或其他指定的法定继承人继承，私生子（如知其姓名，应具体写明）不享有任何继承权。”

二、遵循遗嘱形式要求

遗嘱的形式必须符合法律规定，否则可能导致遗嘱无效。在我国，遗嘱有以下几种形式：

1. 自书遗嘱：由遗嘱人亲笔书写，签名，并注明年、月、日。
2. 代书遗嘱：应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并由遗嘱人、代书人和其他见证人签名，注明年、月、日。
3. 录音录像遗嘱：以录音录像形式立的遗嘱，应当有两个以上见证人在场见证。遗嘱人和见证人应当在录音录像中记录其姓名或者肖像，以及年、月、日。
4. 口头遗嘱：遗嘱人在危急情况下，可以立口头遗嘱。口头遗嘱应当有两个以上见证人在场见证。危急情况消除后，遗嘱人能够以书面或者录音录像形式立遗嘱的，所立的口头遗嘱无效。
5. 公证遗嘱：由遗嘱人经公证机构办理。

三、确保遗嘱的真实性与合法性

1. 真实意思表示：遗嘱必须是遗嘱人真实意思的表示，不存在被胁迫、欺骗等情况。
2. 完全民事行为能力：立遗嘱人必须具有完全民事行为能力。
3. 不违反法律、行政法规的强制性规定：遗嘱内容不能违反法律、行政法规的强制性规定，也不得违背公序良俗。

四、考虑特殊情况

如果私生子在被继承人去世前对其尽了抚养义务，根据法律规定，私生子可能有权分得适量的遗产。因此，在立遗嘱时，您需要留存相关证据，以证明私生子未尽抚养义务或您已给予其适当补偿。

五、建议与咨询

为了确保遗嘱的合法性和有效性，建议您在立遗嘱前咨询专业律师或法律机构。他们可以根据您的具体情况提供个性化的法律建议，并帮助您制定符合法律规定的遗嘱。

综上所述，通过明确遗嘱内容、遵循遗嘱形式要求、确保遗嘱的真实性与合法性以及考虑特殊情况，您可以制定一份具有法律效力的遗嘱，明确表明不给私生子继承财产。