劳动者申请劳动仲裁时，工会不可以不予支持。
在我国，工会作为劳动者的代表组织，其重要职责之一就是维护劳动者的合法权益。当劳动者与用人单位之间发生劳动争议，包括但不限于工资、工时、休息休假、劳动安全卫生、社会保险等方面的纠纷，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在这个过程中，工会应当给予劳动者必要的支持和帮助。
具体来说，工会可以采取以下措施来支持劳动者申请劳动仲裁：
提供法律咨询：工会可以安排专业律师或法律顾问为劳动者提供法律咨询，帮助劳动者了解仲裁程序、准备仲裁材料，并解答劳动者在仲裁过程中可能遇到的各种法律问题。
协助准备仲裁材料：工会可以协助劳动者收集、整理仲裁所需的证据材料，如劳动合同、工资单、考勤记录等，以确保劳动者能够提供充分、有效的证据来支持自己的主张。
代表劳动者参与仲裁：在某些情况下，工会可以代表劳动者参与仲裁过程，与用人单位进行协商、调解，或者代表劳动者出庭陈述意见、进行辩论。
提供心理支持：劳动仲裁过程可能会给劳动者带来一定的心理压力和负担。工会可以为劳动者提供心理支持，帮助劳动者缓解压力、调整心态，以更好地应对仲裁过程。
因此，工会作为劳动者的“娘家”，在劳动者申请劳动仲裁时应当给予全力支持，而不是不予支持。如果工会未能履行其职责，劳动者可以向工会的上级组织或者相关部门进行投诉或举报。