遇到工程完工后业主不给设计费的情况，您可以按照以下步骤来处理和维权：

1. 查看合同：

   • 首先，检查您与业主之间是否有关于设计费支付的书面合同。
   • 如果合同中存在相关条款，那么您可以依据合同要求业主支付设计费，并明确逾期付款的违约责任。

2. 收集证据：

   • 如果没有书面合同，或者合同内容不明确，您需要收集其他证据来证明设计服务的事实以及设计费的金额。
   • 这些证据可以包括工作成果交付证明（如设计图纸、交付记录等）、与业主的沟通记录（如邮件、短信、聊天记录等）以及其他能够证明您提供设计服务的相关材料。

3. 协商解决：

   • 在收集到足够证据后，尝试与业主进行友好协商，明确指出设计工作已完成，并依据合同约定或口头约定要求其支付设计费。
   • 了解业主不支付的原因，尝试达成支付协议，确定支付方式和期限。

4. 申请仲裁或提起诉讼：

   • 如果协商无果，您可以考虑根据合同中的仲裁条款向约定的仲裁机构申请仲裁，或者向有管辖权的法院提起诉讼。
   • 在提起诉讼时，您需要准备好相关证据材料，并明确诉讼请求，要求业主支付设计费以及可能产生的利息等损失。
   • 请注意，诉讼时效通常为三年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起算。因此，务必在诉讼时效期间内提起诉讼或申请仲裁。

5. 执行判决：

   • 如果您获得了法院的判决或仲裁机构的裁决，但业主仍然不支付设计费，您可以向法院申请强制执行程序来保障您的权益。

在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，遵循法律程序来维护自己的合法权益。如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时联系我，我作为一名专业律师，将竭诚为您提供支持和解答。