私生子在法律上完全有权继承亲生父亲的遗产。

详细来说，根据我国《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承顺序中，第一顺序包括配偶、子女、父母。而这里的“子女”是一个广义的概念，它不仅涵盖了婚生子女，也同样包括了非婚生子女（即私生子）、养子女以及有扶养关系的继子女。这一规定明确体现了法律对于所有人平等权益的保护，无论子女的出生方式如何，在继承权上他们都享有同等的权利。

在实际操作中，私生子为了维护自己的继承权，可能需要提供一些必要的证据来证明其与被继承人（即亲生父亲）之间的亲子关系。这些证据包括但不限于出生证明、亲子鉴定报告等，以确保在遗产分配过程中得到其应得的份额。

此外，如果亲生父亲在世时立有遗嘱，并且遗嘱中没有排除私生子的继承权，那么私生子依然有权按照遗嘱的内容参与遗产的分配。当然，如果遗嘱中有明确的排除条款，那么则需要根据具体情况进行法律分析，以确定私生子的继承权是否受到影响。

综上所述，私生子在法律上具备继承亲生父亲遗产的权利，这是对其合法权益的重要保障，也是法律公平、公正原则的体现。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。